L'énergie et la mécanique Hamiltonienne

День тому

Dans cette vidéo nous parlerons d’énergie en mécanique, et du formalisme associé, le formalisme Hamiltonien de la mécanique analytique. Nous verrons en quoi cela généralise le formalisme Lagrangien, et fournit un principe de moindre action plus général que celui vu dans la dernière vidéo.
On verra apparaître la notion fondamentale d’espace des phases, et on pourra toucher à quelques applications liées au comportement à grand temps des systèmes et au chaos. Finalement nous établirons les outils mathématiques permettant de comprendre la structure qui se cache derrière tout cela : transformation de Legendre, fibré cotangent et géométrie symplectique.
Lien vers les notes prises pendant la vidéo : www.antoinebourget.org/attachm...
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Je m'appelle Antoine Bourget, je suis physicien théoricien, et j'essaie de transmettre en vidéo ce que je trouve élégant en mathématiques et en physique. Pour suivre les actualités de la chaîne, et me contacter, vous pouvez rejoindre le serveur Discord ou me suivre sur les réseaux sociaux. Si vous voulez faire un don, j'ai également un compte Tipeee
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Références :
- Landau, L., & Lifchitz, E. (1966). Mécanique, Editions Mir. Moscou
- Arnol'd, V. I. (2013). Mathematical methods of classical mechanics (Vol. 60). Springer Science & Business Media.
- Takhtajan, L. A. (2008). Quantum mechanics for mathematicians Graduate Studies in Mathematics vol 95 (Providence, RI: American Mathematical Society).
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Plan:
00:00 Début
8:20 Exemple 1 : le pendule
20:22 Introduction à l'espace des phases
29:43 Exemple 2 : oscillateur harmonique
34:53 Changements de variables et unités
43:30 Changement de variables dans l'espace des phases
54:37 Formalisme Hamiltonien
1:11:55 Transformée de Legendre
1:24:15 Hors-sujet sur la thermodynamique
1:36:10 Flot Hamiltonien et Théorème de Liouville
1:48:55 Conséquences de la conservation du volume
1:59:03 Principe de Moindre Action
2:13:10 Structure mathématique du fibré cotangent
2:31:30 Forme symplectique en coordonnées standard
2:48:46 Passage du Lagrangien au Hamiltonien
2:56:07 Crochet de Poisson
3:02:52 Action en fonction des coordonnées et Hamilton-Jacobi
3:08:04 Transformations canoniques et fonctions génératrices
3:16:55 Transformation à Hamiltonien nul
3:23:40 Exemple de l'oscillateur harmonique
3:32:07 Problème Keplerien asymétrique
3:44:00 Résumé

КОМЕНТАРІ: 97

@lsrs5004 11 годин тому

J'ai regardé le cours en entier alors que je ne suis même plus à l'école et surtout je n'ai pas compris grand chose, mais ça me fascine les capacités que tu as, bravo !

@achrafelmahjour8673 2 роки тому

On disait que vous appreniez bcps de temps entre une vidéo et une autre, mais vous en avez raison la dessus . Vos vidéo sont très concentrées et balayent presque tous ce qui est en relation avec le thème , des belles interprétations, même des explications des notations ou des chgmt de var. Vraiment votre chaîne est ma préférée ( il y'en d'autres, mais pour la rigourosité, la présentation les couleurs , la façon de mener les idées) vous êtes le Meilleurs Antoine. j'attends la quantification avec impatience. Merci

@antoinebrgt 2 роки тому

Merci beaucoup :)

@rootbuild2028 2 роки тому

No Comment 🤪

@bullmarket3424 2 роки тому

Un exposé sur la thermodynamique et l'entropie serait sympa aussi ainsi qu'un cours de math sur les tenseurs et leur application en physique

@antoinebrgt 2 роки тому

Je parlerai des tenseurs en détail un jour oui ! Pour la thermo il faudrait que je trouve une approche originale...

@manwork6545 Рік тому

Très bon cours à cette "adresse", si je peux me permettre: - Tenseurs pour la MMC #1/4 (J. Garrigues, AMU/ECM/LMA) - Exposé super clair!

@user-ge8lh5gb5b Місяць тому

J'ai découvert la chaîne il y a une semaine et n'ai regardé que les vidéos sur le Lagrangien et l'Hamiltonien. Je suis bluffé par la clarté et la qualité des présentations.

@antoinebrgt Місяць тому

Merci, ça fait plaisir !

@quevineuxcrougniard2985 Рік тому

Ce cours est passionnant et très utile. C'est balaise mais expliqué avec clarté et simplicité. Merci beaucoup.

@antoinebrgt Рік тому

Merci !

@olimparis2986 2 роки тому

Merci beaucoup ! Grâce à vous, j'ai découvert le formalisme hamiltonien et pu m'apercevoir que je l'avais déjà croisé, de manière indirecte, dans plusieurs de mes lectures (sur les orbites des satellites, par exemple, via les éléments orbitaux de Delaunay). J'apprécie toujours étant vos présentations qui n'oublient pas les ignorants comme moi (j'ai trouvé la première partie, d'une 1h-1h30, accessible) et, grâce à vos exemples pertinents, lient toujours mathématiques et physique. Vos directs méritent d'être vus et revus (ce que je fais avec plaisir).

@antoinebrgt 2 роки тому

Merci beaucoup !

@alvarodemontes3818 2 роки тому

Merci, c est très instructif et votre présentation met du liant dans les vidéos de même sujet que l'on retrouve sur yt.

@antoinebrgt 2 роки тому

Merci !

@kaweyimhippoclite5880 2 роки тому

Merci bien pour votre partage aussi instructif et pédagogique. J'apprends beaucoup de plus en plus chaque fois que je suis vos vidéos. Courage pour la suite.

@antoinebrgt 2 роки тому

Merci beaucoup !

@achrafelmahjour8673 2 роки тому

j'ai trop aimé votre Hors sujet 1,24,23 😊😊 ; Pour la transformée de Legendre j'avais un ami qui faisait cela en première année , il aimait bien initier les étudiants à cette notion, en Thermo 1 , il introduit un exercice ou plusieurs complémentaires et il faisait toute la démo en donnant des interprétations, e les application, même des exemple réels et de la vie courante , la même chose pour le Théo de Liouville, Le principe de moindre action (Fermat en particulier) ), du coup les étudiant qui vont suivre dans le même parcours de la physique moderne, sont déjà près et ils n'ont aucune lacune et n'ont pas besoin d'aller cherche des compléments, et puis Ce Monsieur disait que c'est le moment de passer à autres choses. j'ai trop aimé votre Hors sujet et surtout quand vous essayez de respecter les notations historiques comme celle en 1/T de Boltzmann. Merci

@antoinebrgt 2 роки тому

Merci ! Oui je pensais bien que ce petit interlude sur la thermo pourrait aider à faire des liens avec des choses connues par ailleurs !

@Lulu-mg9by 2 роки тому

merci d'exister

@terminator1716 6 місяців тому

Excellent travail. Merci bien. 👍 🌹❤

@antoinebrgt 6 місяців тому

Merci à toi !

@observing7312 2 роки тому

Merci pour la digression sur la thermo. Je n'avais jamais eut cette vision plus globale et ça m'était tjs paru obscure.

@stefbd7373 2 місяці тому

Coucou, j’ai regardé les 3 choix, comme d’habitude. Merci, pour ces messages qui me parlent sur différents aspects de ma vie. Vous êtes formidable. Bises ❤

@sudoku1099 2 місяці тому

C'est superbe : par les quelques exemples du début j'ai déjà compris énormément de choses que mes profs de physique n'ont pas su faire passer. Encore bravo !

@romainmorleghem4132 2 роки тому

Joli ! Je me suis posé 2 questions. La première est au sujet de cette 2-forme symplectique. Elle est par définition fermée mais est-elle exacte (cohomologie haha)? Parce que comme tu l as dit la structure fondamentale c est cette 2-forme mais est-ce que la 1-forme de Liouville existe toujours ? Autrement dit, est-ce qu'il peut il y avoir des "trous" dans l espace des phases ^^ ? Ma deuxième réflexion était au sujet de ce principe de moindre action dans l espace des phases. Je me demandais s il existait une quantification via une intégrale de chemin dans l espace des phases (une intégrale avec comme mesure D[q] D[p] et pas juste D[q] comme une intégrale de chemin standard dans le formalisme lagrangien). Merci pour ton travail :)

@antoinebrgt 2 роки тому

Ca dépend de ce que tu appelles toujours ! Sur T*M, oui la forme symplectique est exacte, c'est la différentielle de la forme de Liouville. Sur une variété symplectique en général, non elle n'est pas forcément exacte.

@antoinebrgt 2 роки тому

Et pour la deuxième question, oui il y a une formulation d'intégrale de chemin dans l'espace des phases :) J'en parlerai peut-être un jour si je parle de la quantification !

@samuelblarre4522 2 роки тому

Supert épisode. Merci. Vers 1:40 j'ai du aller revoir un ancien épisode sur les différentielles qui m'a bien aidé à comprendre la suite.

@bouhschnou 2 роки тому

@45:40 j'adore! Le mouvement tourne dans l'autre sens, on s'attend à ce qu'un signe moins apparaisse et... non, il faut prendre l'inverse! C'est à retenir, un changement d'orientation (x, y) -> (x, -y) peut en fait être vu comme (x, y) -> (y, x)

@fabienleguen 2 роки тому

Merci ! J’ai été moins tenu en haleine que lors des précédentes vidéos car le caractère évident et alléchant de la carotte au bout du chemin est apparu très progressivement et me parait dans l’absolu, moins énorme que sur d’autre sujets (avis subjectif, il me manque peut être des notions ou une vision plus globale). J’ai quand même eu un instant jaw dropping quand tu as expliqué qu’il y avait le principe de moindre action lagrangien et le principe de moindre action Hamiltonien et que ce dernier était plus général et donc plus fécond que le premier ! Ce que j’ai retenu au final des intérêts directs du formalisme hamiltonien pour la physique : simplifier la résolution des équations par une procédure assez algorithmique de changements de variables, toujours pouvoir transformer un problème général de mécanique en un problème géométrique dans l’espace des phases. Question : la gravitation quantique à boucles est bâtie à partir de la quantification canonique d’un formulation hamiltonienne de cette dernière, exprimée dans un jeu particulier de variables (Ashtekar) ; est ce que ce jeu spécial de variables a été obtenu par les procédures de changement de variables présentées dans cette vidéos ? Si oui ça serait très inspirant !

@antoinebrgt 2 роки тому

Bonne question, je ne sais pas du tout, car je n'ai jamais regardé en détail la construction de Ashketar. Peut-être un jour à l'occasion d'une prochaine vidéo !

@josephmathmusic Рік тому

Dans un expose, Alain Connes a fait remarquer que la transformee de Legendre etait une version "tropicale" (produit -> somme, somme -> sup ou inf) de la transformee de Laplace (ou Fourier). On a -g(p) = inf {f(q) - pq, q reel}. A partir de Laplace: exp(-pq) -> -pq, integral -> inf. L'auto-dualite de q^2/2 rappelle celle de la Gaussienne pour Fourier. La transformee de Legendre est essentielle en probabilites pour l'etude des grandes deviations.

@antoinebrgt Рік тому

Ah c'est un point de vue intéressant, je n'y avais pas pensé !

@ducdeblangis3006 Рік тому

@@antoinebrgt Oui, c'était dans ce cadre que je parlais de la transformée de Cramer, elle joue un rôle essentiel dans le calcul des grandes déviations.

@frenchimp Рік тому

En somme on pourrait définir la transformée de Legendre g de la fonction f en disant que g(p) = min (pq - f(q)) pour q décrivant le domaine de f, non ?

@JACK-ot9kv 2 роки тому

Bonjour Au risque d'être ridicule, je me permets une question relative au début (vers 15') de votre brillantissime exposé. A priori, le pendule se déplace dans un plan vertical, et il ne peut pas aller plus haut que le plafond. Ceci correspond à un demi-tour, et à une amplitude égale à 180°, soit Pi radians. A 15'11", vous faites varier l'angle TETA de -Pi à Pi radians, soit une amplitude de 2Pi radians. Pourquoi ?

@antoinebrgt 2 роки тому

Ce n'est pas du tout ridicule! En effet le plafond bloquerait le pendule, et pour le prendre en compte il faudrait modifier les équations. Ici les équations modélisent un pendule attaché à un point, et donc il est libre de monter aussi haut qu'il veut, et même de faire des tours complets !

@JACK-ot9kv 2 роки тому

@@antoinebrgt OK / compris, merci !

@Greg17398 Місяць тому

Super !

@pocaudraphael6066 2 роки тому

Super

@ramyaikikai8556 2 роки тому

le prophète ﷺ a dit : « Lorsque meurt le fils d’Adam, ses oeuvres s’arrêtent sauf trois: une aumône persistante, une science dont on profite ou un enfant pieux qui invoque pour lui. »

@ami443 Місяць тому

Il a mis la tonne pour le Hamilton

@yoannmery 2 роки тому

Encore merci pour les vidéos ! Y a un truc qui me bloque sur cette vidéo et la précédente c'est que, sauf si je l'ai loupé, on n'a pas définit ce qu'est exactement le \frac{\partial/}{\partial q}. Je comprends que ça représente la direction tangente suivant la qième composante mais formellement c'est quand même un truc bizarre, je ne sais pas ce que c'est une dérivée partielle qui ne s'applique sur rien.

@antoinebrgt 2 роки тому

Je ne sais pas si c'est ta question, mais si tu as n'importe quelle variété différentielle lisse, tu peux toujours choisir un système de coordonnées locales (x_1 , ... , x_n) sur un certain ouvert, et alors sur l'ensemble des fonctions définies sur cet ouvert, tu as un opérateur bien défini d / d x_i. Si tu veux, tu peux voir cela comme une définition de ce qu'est un champ de vecteurs : un champ de vecteurs est une application linéaire de l'espace des fonctions lisses dans lui-même, qui satisfait à l'identité de Leibniz, ce qui en fait une "dérivation". Donc ici le d/dq c'est juste cela, c'est un champ de vecteurs défini sur M. Concrètement, tu peux l'imaginer comme le champ de vecteurs qui pointe dans la direction vers laquelle q augmente, toutes les autres coordonnées étant fixées. Est-ce que c'est plus clair ?

@ducdeblangis3006 Рік тому

Merci pour l'incise sur l'énergie libre que même Sarmant avait échoué à nous faire comprendre, en prépa. D'autre part, quand tu prends l'orthogonal au vecteur normal à la variété d'énergie constante, en fait, on peut prendre n'importe quel vecteur de la forme lambda(p,q)x ce vecteur; est ce qu'on obtient les mêmes équations?

@antoinebrgt Рік тому

Pour la dernière question je suppose que oui, mais il faudrait faire le calcul, ça doit être assez facile!

@ducdeblangis3006 2 роки тому

Quel est au juste le lien entre la transformée de Cramer qu'on rencontre dans les grandes déviations, et celle de Legendre? on sent une parenté, mais j'ai du mal à la formaliser. Saurais tu aussi où la thermo est présentée à partir de cette transformation, comme tu l'as fait; outre d'être très différente de toutes celles que j'ai rencontrées, surtout en prépa, elle éclaircit bien des points qu'on passe sous silence dans ces classes. D'autre part, pour que la transformée de Legendre existe, ne suffit il pas que L soit propre, autrement dit que l'image réciproque d'un compact soit compacte? Merci bien et bonne soirée

@antoinebrgt 2 роки тому

Je ne connais pas bien la transformation de Cramer donc je ne peux pas répondre. Pour la condition sur L, il me semble quand même que la convexité est essentielle pour assurer l'unicité, non?

@antoinebrgt 2 роки тому

(et concernant les livres sur la thermo je n'en connais pas tellement, peut-être dans des ouvrages théoriques comme Landau Lifschitz ?)

@ducdeblangis3006 2 роки тому

@@antoinebrgt Oui, parce qu'alors, la différence est affine - f(*) est bien sûr strictement concave; mais le fait que la fonction soit propre garantit qu'elle "touche" tous les points.

@ducdeblangis3006 2 роки тому

Bonjour Antoine, merci pour cet exposé qui éclaircit bien des points sur ce sujet passionnant, et qui maintient dans une tension digne des meilleurs polars; je me permets quelques remarques anodines: quand vers 1h07, tu dis que les q_i sont des vecteurs, il me semble que ce sont plutôt leurs dérivées/temps, qui sont des vecteurs vivant dans le fibré tangent. A priori, les q_i sont dans des variétés quelconques. D'autre part, dans la démo de Liouville, en fait, on a montré que le DL de l'élément de volume est un O(t²), ce qui prouve que la dérivée en 0 est nulle à l'origine, il me semble qu'il faudrait compléter en disant que la démo s'applique en tout point. Il y a aussi un point qui me gêne, c'est quand on raisonne à énergie constante; est ce qu'il ne faut pas ajouter une hypothèse de connexité sur ces variétés d'énergie fixée? si oui, est ce qu'elle va de soit? Cordialement

@antoinebrgt 2 роки тому

Oui il y a pas mal de choses qui sont un peu identifiées, ce qui rend parfois le langage un peu imprécis. Les q^i sont le système de coordonnées qu'on prend pour définir la variété. Ils vivent donc dans un ouvert de R^n qui est difféomorphe à l'ouvert de la variété considéré. Dire que ce sont des "vecteurs" revient ici à dire comment ils se transforment sous un changement de coordonnées : ils se transforment vectoriellement (i.e. dans la représentation fondamentale du groupe GL(n,R) disons).

@antoinebrgt 2 роки тому

Et oui pour la preuve de constance du volume je crois que je suis allé un peu vite, j'aurais pu préciser qu'on peut faire ce calcul en tout point (mais c'est assez évident, finalement on ne fait qu'utiliser les équations de Hamilton, qui sont valides en tout point). J'aurais pu aller plus vite en appliquant un théorème de Stokes mais j'ai voulu rester élémentaire et faire le calcul explicite, ce qui a peut-être un peu embrouillé les choses! Enfin pour les raisonnements à énergie constante oui il peut être nécessaire de parler de connexité, mais dans la vidéo est-ce qu'il y a un endroit où c'est nécessaire ? J'ai l'impression que tout était assez local, ou global dans le sens du flot hamiltonien, qui par définition reste sur une composante connexe des variétés d'énergie constante.

@josephmathmusic Рік тому

On parle de positions, d'impulsions, d'oscillations, de flot et de q.

@renaudmathevet9374 Рік тому

@ 1h26 "qui extrémise une certaine condition": si on note h_p(q) (fonction de q paramétrée par p fixé) la hauteur en violet (notée g(p)...), c'est l'extrémum de h_p(q), donc, de façon implicite g(p) non?

@antoinebrgt Рік тому

Mais attention, pour définir g(p), qui ne dépend pas de q, il faut savoir à quel endroit (à quel q) on mesure la différence de hauteur entre les deux courbes, et c'est pour trouver cet endroit qu'on doit optimiser quelque chose. Donc ce serait circulaire de dire qu'on optimise g(p) !

@josephmathmusic Рік тому

L'espace des phases est un fluide incompressible tourbillonnant :) Le volume de l'espace des phases pour le gaz dans toute la boite est 2^(dimension) fois celui de la moitie de la boite. Donc il faut de l'ordre de 2^(10^(23)) secondes avant de retrouver tout le gaz d'un seul cote... Un crochet de Poisson, c'est un hameçon?

@BooksLessonsPhysChemBio 2 роки тому

Bon professeur de physique théorique Merci beaucoup pour vos efforts, quel logiciel utilisez-vous pour écrire à l'écran

@antoinebrgt 2 роки тому

Merci ! J'utilise Gimp pour écrire.

@BooksLessonsPhysChemBio 2 роки тому

@@antoinebrgt Merci

@Grosboulou 2 роки тому

Bonjour et un immense merci pour vos vidéos qui sont toujours énormément instructives. J'ai un petit problème de compréhension dans ce qui est dit sur la forme de Liouville. Il me semblait qu'elle était définie sur T(T^*M). Pour un élément (q,p) de T^*M, la forme de Liouville prend un vecteur de T_{(q,p)}T^*M, le transforme en un vecteur de T_xM et lui applique p pour donner un scalaire. Dans la vidéo, il est dit qu'elle était définie sur T^*M ce qui me perturbe. De même omega mange deux vecteurs de T(T^*M) et j'ai l'impression qu'on prend des vecteurs de TM pour écrire sa matrice. Avez-vous identifié les vecteurs de TT^*M qui étaient envoyés sur TM avec ceux de TM ? Si jamais vous avez le temps d'éclaircir ce point ça serait super. Encore merci pour tout votre travail.

@antoinebrgt 2 роки тому

Ca dépend de ce qu'on appelle "définie sur" ! La forme de Liouville est une 1-forme sur T*M, donc c'est une section de T*(T*M). Elle prend en argument un champ de vecteurs disons v = A d/dq + B d/dp et rend le scalaire p.A . De même la forme symplectique prend en argument deux champs de vecteurs disons v = A d/dq + B d/dp et v' = A' d/dq + B' d/dp et rend le scalaire AB' - BA'. Est-ce que ça éclaircit un peu la situation ?

@Grosboulou 2 роки тому

@@antoinebrgt Bonjour et merci énormément d'avoir pris le temps de me répondre, c'est super sympa. Oui, ça éclaircit tout à fait la situation. Je m'étais pris les pieds dans le tapis entre la forme différentielle d'une part et la forme linéaire obtenue d'autre part (le pire est que j'avais pourtant fait un petit diagramme où tout était marqué, mais quand ça ne veut pas...). Merci d'avoir remis la locomotive dans le bon sens et une nouvelle fois merci pour vos précieuses vidéos si éclairantes qui arrivent à me faire parfois croire que je suis compétent quelques instants... et puis... une fois UKposts fermé... la triste réalité me rappelle à l'ordre !

@ducdeblangis3006 2 роки тому

Si je peux compléter la réponse d'Antoine, pour une description à peu près canonique et en même temps "visuelle" (sic!), le plus "simple" (resic) est d'écrire que localement, le fibré cotangent est le produit (d'un ouvert) de la variété par le dual de l'espace tangent. Donc le fibré cotangent au fibré cotangent est le produit de l'ouvert par le dual de l'espace par le tangent à l'ouvert par le bidual. On voit donc qu'il y a une forme linéaire sur la 2ème composante et un vecteur sur la 3ème. La forme canonique consiste à appliquer la seconde au troisième. Pour ceux qui cherchent une version très formalisée de cette approche, je conseille Abraham Marsden, Foundation of Mechanics et beaucoup de courage!

@Grosboulou 2 роки тому

@@ducdeblangis3006 Merci pour ton message. C'est cette représentation que j'ai en tête quand il s'agit de faire des calculs. Un point un peu dans la même veine, qui m'a pris une certain temps à digérer, dans le double tangent est de comprendre que le "canonical flip" consiste à permuter la 2ième composante avec la 3ième. C'est vrai que les approches très formalisées sont franchement déroutantes et démotivantes les premières fois. Mais bon, à défaut de tout vraiment comprendre je me fais une raison !

@bullmarket3424 Рік тому

Bonjour Il existe l'équation de Schrodinger pour le oscillateur harmonique (Vp=kx¨2) Pour l'électron autour du noyau ce doit être quelque chose comme Vp=K/x (loi de Coulomb) On peut, à mon humble avis, formuler et résoudre l'équation de Schrodinger pour le pendule simple (Vp=mgx) le pendule quantique correspond il à une réalité physique?

@antoinebrgt Рік тому

En première approximation il s'agit simplement de l'oscillateur harmonique, qui est donc au centre de la quantification canonique en théorie quantique des champs, par exemple. Si par "pendule simple" tu veux parler de l'équation exacte, sans l'approximation des petits angles, on peut certainement considérer l'équation de Schrödinger avec ce potentiel, rien ne nous en empêche, mais c'est sans doute moins fondamental. Je ne sais pas si le spectre est connu exactement, par exemple (mais ça doit l'être, en termes de fonctions spéciales, elliptiques peut-être ?)

@bullmarket3424 Рік тому

@@antoinebrgt merci pour ta réponse en fait ï+sin(i)=0 (g=l) avec i dans [-pi/2,+pi/2] par la méthode des différences finies (1000 intervalles) retourne (si je ne me suis pas planté ) 4 niveaux de énergie 1, 6, 13, 23 avec des fonctions de onde sinusoïdales de fréquence d'autant plus élevée que on monte dans les niveaux

@antoinebrgt Рік тому

@@bullmarket3424 Tu peux essayer de comparer avec la solution exacte, qui est décrite ici : en.wikipedia.org/wiki/Quantum_pendulum

@bullmarket3424 Рік тому

@@antoinebrgt super merci beaucoup ce que j'ai fait est complètement faux

@ducdeblangis3006 2 роки тому

Bonsoir Antoine, il me semble qu'il y a une petite erreur à 23'10: si tu appliques une rotation de +Pi/2, le vecteur (1,0) va vers (0,1) et (0,1) vers (-1,0); là, la rotation du gradient devrait l'envoyer vers -v; sauf si des conventions que j'ignore sont appliquées. D'autre part, tu dis à un moment que le formalisme hamiltonien est beaucoup plus riche que le lagrangien, mais en même temps, on voit à un autre moment qu'on passe de l'un à l'autre de façon plus ou moins bijective. Est ce que pour chaque système hamiltonien, il y a un Lagrangien qui donne les mêmes trajectoires? En tout cas, le programme que tu donnes pour la suite est très alléchant! pourrais tu rappeler comment on peut contribuer à sa réalisation, tu es passé assez vite dessus.

@antoinebrgt 2 роки тому

Ah il y a peut-être une erreur de signe dans la rotation, il faudra que je vérifie... Pour le Hamiltonien qui généralise le Lagrangien, l'idée c'est qu'on ne peut passer de façon "bijective" de Lagrangien à Hamiltonien que quand le Hamiltonien est défini sur un fibré cotangent T*M. Mais on peut en fait définir le Hamiltonien sur une variété symplectique quelconque, et là on perd l'interprétation Lagrangienne (ou du moins on perd l'interprétation "univoque", on peut s'en sortir en regardant des sous-variétés Lagrangiennes, etc).

@antoinebrgt 2 роки тому

Qu'entends-tu par "contribuer à sa réalisation" ? Si c'est le financement, il s'agit de utip (le lien est en description).

@ducdeblangis3006 2 роки тому

@@antoinebrgt Merci pour ta réponse, la fin est passionnante, et il y a toujours dans tes vidéos un point qu'on croit classique, mais qui est abordé de façon originale; sur le fond il y a un abominable Pb d'ENS sur ce type de sujet, très à la mode à l'époque.

@ducdeblangis3006 2 роки тому

@@antoinebrgt Bien noté, on peut faire des dons anonymes, j'espère

@antoinebrgt 2 роки тому

@@ducdeblangis3006 content de savoir que j'arrive à trouver des approches originales même pour le public expérimenté ! Pour le don oui je pense qu'il est possible de le faire de façon anonyme :)

@jean-baptiste6479 Рік тому

58:50 (pause reflexion)

@frenchimp Рік тому

Le "hamiltonien" a été introduit par Lagrange, à un moment où Hamilton avait 5 ans. Lagrange l'a noté H sans doute en hommage à Huyghens. C'est seulement après qu'on a réinterprété ce H comme 'Hamiltonien'...

@antoinebrgt Рік тому

Merci pour ces précisions, savez-vous où on peut trouver des informations à ce sujet ?

@frenchimp Рік тому

@@antoinebrgt Il y a cet article de Souriau par exemple : www.numdam.org/item/MSH_1986__94__45_0.pdf Je ne l'ai pas lu en détail, seulement survolé, mais il me semble que Lagrange savait déjà beaucoup de choses ! En fait je ne connais quasiment rien à la mécanique, j'essaye de comprendre la mécanique hamiltonienne depuis quelques semaines et votre vidéo est de très loin l'exposé le plus clair que j'aie trouvé jusque là. Ca répond à toutes les questions que je me posais.

@fmo9764 Рік тому

ENSTA Paris tech. Des ecrits de Lagrange sont conservés a l Universite de Saclay. Ils font des video youtube egalement !ukposts.info/have/v-deo/qpKBjaefr6Kqp58.html

@playablou8430 Рік тому

je viens de tomber sur cette vidéo. Bien, mais j'ai décroché après le formalisme de la mécanique des gaz ou on peu se demander ce que cela vient faire là, Je pense qu'a à ce moment la théorie jusqu'ici à besoin d'exercice. Puis j'ai était plus loin , mais rien a faire. Cela devient lourd et je me suis ennuyé; Merci quand même, mais il serait bon de mettre beaucoup plus d'exo .

@antoinebrgt Рік тому

Oui il faut évidemment faire des exercices si on veut maîtriser tout ça, mais il faire aussi et surtout suivre un vrai cours, ce que cette vidéo n'est pas, ici c'est plutôt une sorte d'invitation, de survol du sujet. Si j'ajoutais des exercices et tous les détails ça ne tiendrait jamais en une séance, et le but est toujours d'arriver en un temps limité à un certain point de compréhension.

@bullmarket3424 2 роки тому

Dans le PMA dans la colonne hamiltonien je ne comprends pourquoi tu as compliqué avec Legendre: il suffit de dire que tu récris le Lagrangien en faisant ressortir le le hamiltonien: pqpoint= mv*dq/dt=mv2 H=Ec+Ep soit mv2-1/2mv2-Ep=1/2mv2-Ec on retrouve le lagrangien je me suis pris la tête avec cette histoire de Legendre mdr

@antoinebrgt 2 роки тому

C'est que justement dans la formulation Hamiltonienne on n'a que le Hamiltonien a priori, pas le Lagrangien !

@bullmarket3424 2 роки тому

c'est super mais trop long pour une petite tête comme la mienne j'ai tenu 2 heures mdr

@antoinebrgt 2 роки тому

Il ne faut pas hésiter à regarder en plusieurs fois :D

@fochbypro_ 2 роки тому

Please can you change the background to white

@antoinebrgt 2 роки тому

Why, do you think it would be more readable? I like the black background...

@ducdeblangis3006 Рік тому

Considérations inactuelles: bonjour Antoine, j'espère ne pas arriver trop tard, je profite des vacances pour revoir entre autre tes superbes émissions, et ajouter quelques remarques à la volée: d'une part, il ne suffit pas que la fonction convexe pour que la dérivée prenne toute valeur, il suffit de considérer exp(-x) (1h13); il faut qu'elle soit propre. D'autre part, je n'arrive pas à comprendre à 1h50 le lien entre l'absence d'équilibre stable et la conservation du flot hamiltonien; d'une part, à quel moment au juste intervient la stabilité. Sur ton schéma, on voit converger les trajectoires vers un point qui est certes de volume nul, mais rien ne le distingue d'un point d'équilibre instable. Et même, pour ce que je comprends, la stabilité de l'équilibre dépend de la dérivée seconde du Hamiltonien, mais le flux ne voit sauf erreur que la dérivée première. Ou il y a un truc qui m'a échappé, Enfin, à 1h54, un ouvert (mesurable ) n'est jamais de volume nul, il contient une boule ouverte. Merci encore pour tes vidéos, on en espère bientôt une nouvelle bien hard, pour nous réveiller les méninges à la rentrée!

@ducdeblangis3006 Рік тому

Je viens de comprendre en partie, en fait c'est que le point d'équilibre stable est attractif; donc effectivement, ce sont tous les points du volume qui vont se jeter sur lui; ou présenté autrement c'est que si on s'écarte de ce point, la convergence vers lui va y ramener tous les points de l’élément de volume, ce qui contredit Liouville. Si l'équilibre est instable, et qu'on s'écarte, ça veut dire que pour au moins une direction, le domaine ne tend pas vers un point, mais ça n'empêche pas que la mesure limite va être nulle, donc j'ai l'impression que la réciproque est fausse. Qu'en penses tu?

@ayoubkoubaa8539 3 місяці тому

Bien sûr, je comprends. Vous voulez que je traduise votre message en français. Voici la traduction : "Bonjour monsieur, je suis étudiant en classes préparatoires et je prépare un sujet sur l'amélioration du cyclisme en utilisant le hamiltonien. Cependant, je n'arrive pas à trouver la méthode pour obtenir les expressions des fonctions co-états, ou ce que l'on appelle les multiplicateurs de Lagrange. J'aimerais que vous m'aidiez, s'il vous plaît."