Седьмое занятие «Кружка по геометрии и топологии»
Мы подробно обсудим наглядный сюжет о векторных полях на поверхностях, новый взгляд на формулу Эйлера, теорему о причёсывании ежа и обобщающую её теорему Пункаре - Хопфа об индексе, которая даёт альтернативное доказательство корректности определения эйлеровой характеристики как поверхностей, так и многообразий произвольных размерностей.
Слайды: launch-control-center.notion....
00:00 Зачем и кому нужны векторные поля
17:31 Траектории векторных полей
21:00 Фундаментальные задачи векторного анализа
24:50 Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения
28:17 Отображение эволюции (отображение фазового потока)
32:13 Степень непрерывного отображения между окружностями
38:10 Число оборотов векторного поля вдоль кривой
49:48 Лемма об сохранении числа оборотов при гомотопии кривой
54:16 Приложение: теорема Брауэра о неподвижной точке
58:00 Приложение: основная теорема алгебры
01:08:56 Индекс изолированного нуля
01:12:40 Векторные поля в трёхмерном пространстве
01:14:19 Степень непрерывного отображения между двумерными сферами
01:19:31 Это и есть наглядная топология
01:21:28 Векторные поля в электродинамике
01:28:29 Диполи, квадруполи, гексаполи, октуполи
01:36:01 Свойство аддитивности чисел оборотов
01:49:59 Векторные поля, заданные полигональным разбиением (триангуляцией) поверхности
01:47:52 Формула Эйлера - Пуанкаре (эйлерова характеристика)
01:52:48 Векторные поля на трёхмерных многообразиях
01:55:42 Да будет дождь: векторные поля, заданные градиентом
02:01:05 Теория Морса, гладкая и дискретная
02:02:49 Гомотопия, сокращающая два нуля противоположных индексов
02:04:11 Градиент как направление наискорейшего роста функции
02:09:32 Географическая версия формулы Эйлера - Пуанкаре
t (точка) me/ldtss