Bravo. La pédagogie est impressionnante !

Je ne comprend pas pourquoi l’image des entiers pairs négatifs est zéro (11 Minutes 10)? Au passage très bonne vidéo

@@adfr1806 regarde la définition du prolongement : il est proportionnel à sin(s*π/2) qui est 1-périodique sur l'ensemble des réels. Comme ce prolongement est une définition valide de ζ sur l'ensemble des complexes de partie réelle négative, il est évident que pour tout entier négatif s ζ(s)=0 (car sin(s*π/2)=0)

une chance que ce n'est pas le cas des classes

🤣🤣

Excellent :)

Après plusieurs relectures et en ayant réfléchi un peu je n'ai tjrs pas compris, est il possible d'avoir une explication'?

A 8:20 on parle de la somme infinie des entiers (celle au sens de Zeta de Riemann) qui se trouve avoir comme valeur -1/12 (toujours selon cette approche). Du coup au total les matheux commandent -1/12 bière ce qui a 3euros la bière fait -1/4 et donc ils doivent être remboursé de 25centimes pour payer leur tournée :p

+Passe-Science merci

parfait, j'adore, c'est le bide garanti (oui je suis bidathéliste, je collectionne les bides en soirées :)

Sinon, superbe vidéo

@@abellematheux7632 C'est un clin d'oeil aux Inconnus

+FloJess55 Oui c'est assez drôle quand il l'a ré-affiche, je me suis, mais c'est pas la même phrase dont j'ai rien enquillé tout à l'heure, car là je l'a pige bien ^^

+FloJess55 Et le plus fou c'est qu'à la prochaine video tu résoudras l’hypothèse de Riemann. (ou pas)

"Les mauvais prolongements aussi, sauf que ce ne sont pas de bons prolongements" il m'a tué !

Merci beaucoup pour cette confiance ! C'est vraiment très émouvant de se dire que l'on a un impact énorme sur des personne que l'on ne connait pas ☺️

Je veux bien lire ton mémoire ^^

@@ook99 Je te le donnerai avec plaisir, mais j'ai aucune idée de comment te contacter (à une époque y'avait des mp youtube, mais je trouve plus mdr)

@@RalofDeRivebois Tu peux le mettre sur un drive et partager le lien ici 😉 Je suis également intéressé 😊

​@@manun7105alors ce mémoire ahah

Complètement d'accord...même si ça augmente les chances que l'on voit mes commentaires.

Christophe André hum hum taupe 10 hum hum

Je ne sais pas si cette égalité est réellement démontrée mais il existe en tout cas un lien très intéressant entre les deux.

Personne inconnue Non elle n'est pas encore démontrée il me semble ^^

De toutes façons, il suffit de regarder Micmaths.

Quantum Plex La démonstration qu'il utilise est je crois fausse ^^

+Lydos77 P vs. NP : On appelle P la classe des problèmes résolubles par une machine de Turing (modélisation la plus puissante de la notion de calcul) déterministe (qui n'a qu'un seul état et ne fait qu'un seul calcul à la fois) en un temps polynomial (en fonction de la taille du problème). Par exemple, le problème de la recherche du plus court chemin entre deux points dans un graphe a une complexité de l'ordre de n² où _n_ est le nombre de sommets. On appelle NP la classe des problèmes résolubles par une machine de Turing non-déterministe (qui peut être dans plusieurs états et faire plusieurs calculs à la fois) en un temps polynomial. Cela correspond aussi aux problèmes dont on peut vérifier si une solution donnée est exacte en un temps polynomial, par exemple multiplier deux nombres premiers demande une complexité de l’ordre de n² (alors que décomposer un entier en un produit de facteur premiers est bien plus complexe, de l’ordre de n! il me semble). Puisque les machines de Turing non-déterministes peuvent faire tout ce que les machines déterministes peuvent faire, on a trivialement que P est inclus dans NP mais a-t-on l'inclusion inverse (ce qui entraîne que P = NP) ? Autrement dit, si une solution à un problème peut se vérifier facilement, alors peut-elle aussi être facilement trouvable ?

J'adorerais !

le bon et le mauvais chasseur en somme^^

: )))

Attention, il n'y pas qu'en Picardie qu'il y a de bons et de mauvais chasseurs !

Parler des autres problèmes du millénaire est déjà un problème entant que tel.

Un bon prolongement d'une fonction préserve sa régularité sinon à quoi de bon prolonger la fonction

+Zebezia t'es sûr de toi quand tu dis que --=+ ?

loupiotable Quand mème, j'ai eu mon bac S^^

PetitNuageML Oui bon bah (bou boh buh) je fais référence a ce qu'on apprends en 6ème^^. Mais heu, pourquoi un signe ça n'existe pas dans certains ensembles? Parce que c'est "+ un truc négatif" donc si y'a pas de truc négatif ça n'existe pas? Je trouve pas ça logique, mème dans les entiers positifs je peux faire 1 - 2 techniquement non, mème si c'est 1 + (-2) qui a une partie pas dedans?

PetitNuageML Non mais c'est de l'ironie, personne comprends ^^? Les premières maths qu'on apprends c'est faire des additions soustractions, multiplier avec les priorités ect... Je suis bien en L3 mais LEA^^ Il me reste les équations a une inconnue dans ma tète que je sais faire sans faute, après 5 ans à rabâcher ça et avoir une matière en licence par an qui l'utilise ça reste, d'autres trucs basiques reviendraient si j'en refaisais mais j'ai un niveau seconde je pense maintenant, ce qu'on a vu en 1re et TS j'ai galéré pendant 2 ans, et j'ai du beaucoup en oublier après le bac, puis mème des trucs simples comme la trigo ça me reviendrait mais j'en referais pas...^^ Sinon merci pour l'info^^

MDRRRRRR t'es bien parti gamin

+Pi Vix ça aurait été mieux dans un tweet.

#Fermat

+Pi Vix Fermat serait fier.

+difajabug Exactement ce que j'allais dire mais je suis certain que c'était volontaire de sa part :D

+Pi Vix Ecrit la en formule mathématique :)

excellent haha

EXCELLENT ! Et subtil ! Merci bien. C'est génial on a meme la photo avec !

Ta juste pas de vie mdr

Bien vu hahaha

c'est tellement bref, même en vitesse 1/4 j'arrive pas faire l'arrêt sur image.

Les points triviaux s.annullent au point z de pi ce qui corespond a l.hipersphere a tout instant en devenir

T'as refait ma journée

C'est la meilleure explication ever j'ai adoré

Merci beaucoup!!! Très bonne analogie

Merci pour l'explication, je comprends mieux maintenant.

mdrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr... et dire que je me suis concentré pour lire ta démonstration... c'est Triviaaaaal... ouiii Mr Riemannn !!! mdrrr

C'est marrant, l'année dernière on avait eu pareil un DM qui se terminait par cette question ! Tu fais quoi comme études ?

+Invoker Le niveau de ce genre de problème est tel qu'il n'est accessible que par une poignée de personnes dans le monde. Sa compréhension est "assez simple" mais son analyse est infiniment plus dure

Tout à fait. Si l'hypothèse de Riemann est résolue, on aura une connaissance bien plus aiguisée de la repartition des nombres premiers. Ce qui pourra effectivement causer des problèmes pour la sécurité informatique. Mais il ne faut pas croire que n'importe qui pourra cracker n'importe quoi. Ça reste du domaine de la théorie des nombres. Mais entre de mauvaises mains ça pourrait tourner au drame. Il y a d'ailleurs toute une théorie complotiste autour de ce problème, qui dit que l'hypothèse a déjà été résolue mais que les banques se gardent de faire publier ce papier... Ah les complotistes ^^

Non pas vraiment. L'hypothèse de Riemann donne une très bonne approximation de la répartition des nombres premiers, mais en cryptographie ce qui compte c'est d'être capable de factoriser un nombre très très grand en deux nombres premiers également très grands. Pour l'instant on ne sait pas faire autrement que en les essayant tous (je résume) ce qui n'est pas faisable. L'hypothèse de Riemann n'aide pas pour résoudre ce problème. En revanche, certains types d'ordinateurs "quantiques" peuvent accélérer considérablement ce calcul. Pour l'instant les ordi quantiques existent mais ont encore des capacités limitées.

@@ryanhawking9127 mais je comprends pas car il y a plusieurs papiers qui disent "si l'hypothèse de Riemann est vrai alors" du coup cela n'a pas empêcher les matheux d'avancer sur ce sujet. Ainsi si ce que vous dites est vrai il suffira de supposer que l'hypothèse est correcte et de tester que sa stratégie marche pour plusieurs cas concret plutôt que d'attendre à tourner les pouces sachant qu'au final ça changera rien aux tests si il y a une démonstration qui prouve que ça marche vraiment à tout les coups

+Fred M Nope. Pour qu'une formule de prolongement soit valide, il faut tout de même qu'elle soit égale à l'expression initiale au moins sur un petit domaine où les deux sont définies à la fois. Une fois que ceci est vérifié (ce qui se fait pour les deux formules qui apparaissent dans la vidéo, et les dizaines d'autres qu'on trouve sur la page wikipédia de la fonction zeta), on applique le théorème du prolongement analytique qui assure que le prolongement est "correct".

+El Jj MicMaths , somme des nombres de 1 à infini

+El Jj Et bien vivement qu'ils démontrent comment on peut en arriver à une telle somme divergente qui tendrait vers -1/2. J'ai du mal à penser qu'il n'y a pas un soucis en amont, mais bon ! Je ne prolonge que des NURBS pour ma part, de plusieurs façons différentes !

+Fred M Oui on ne peut prolonger une fonction holomorphe que d'une et une seul manière. (si l'on souhaite conserver la propriété d'holomorphie bien sur)

Bon, ça fait un an mais laissons quand même un commentaire. Les gens ont du mal à comprendre la philosophie derrière la convergence, il y a "le bon sens" qui n'a finalement que peu de réalité mathématique. Dans le cas simple, on considère qu'une suite converge vers x si la "distance" entre les termes de la suite et x finissent, à partir d'un certain rang, à devenir plus petit que tout réel. Grosso modo dans le cas habituel dans les réels, si la suite finit par rentrer et rester dans tout intervalle dont x n'est pas sur le "bord" et contenant x. C'est le sens "commun", on se dit "ça devient et reste aussi proche que l'on souhaite". C'est une définition, un choix. C'est un objet comme un autre et ses propriétés sont bonnes, les opérations usuelles se comportent bien et donc on l'étudie. Il faut remarquer qu'on peut faire des suites dés que l'on peut mesurer une "distance" (en fait on peut faire sans, mais je ne vais pas vous saouler de topologie) même si on n'a pas d'opération comme l'addition, qui vient s'ajouter "par dessus". Alors pour les séries, on s'est simplement dit qu'il suffisait de regarder les sommes limitées, et ça forme un suite. Ah mais on a une idée de ce qu'est la convergence d'une suite, donc tout va bien ... Pas si vite. Les séries sont "plus riches" que les suites, on a une opération dans les séries, c'est plus précis qu'une suite. Et les mathématiques nous disent rapidement que cette distinction a de l'importance. Il existe des séries qui convergent mais en permettant des éléments de la série, elles ne convergent plus, ou convergent mais vers un autre nombre. C'est embêtant, car la multiplication en est impactée (considérons la série des an multipliée par la série des bn, j'aimerais pouvoir la réécrire sous la forme d'une seule série, mais si l'ordre a de l'importance, comment dois-je faire ?). C'est là que le "bon sens" nous fait défaut. La notion de convergence ne colle pas avec les opérations usuelles. Alors on peut "durcir" la notion de convergence (convergence absolue) ou l'affaiblir. Dans le premier cas, on se retrouve à rejeter des séries qui ne se comportent pas trop mal et dans le second, on se retrouve avec des résultats "bizarres" comme 1-1+1-1+1-1+1-1+... = 1/2. Et c'est là qu'est la philosophie derrière la convergence : ai-je une série qui n'est jamais qu'une suite, où ai-je une série dont les opérations ont de l'importance ? Pour Zeta, son existence a été prouvée. Le théorème en question a des hypothèses assez simples, il suffit que la fonction soit dérivable au sens complexe sur un disque, et Zeta l'est sur un demi-plan, donc en particulier sur le disque centre en 3 et de rayon 1. Et ce théorème nous dit qu'il existe une unique fonction, qui est le quotient de deux fonctions dérivables au sens complexe PARTOUT, égale sur ce disque. C'est ça le prolongement analytique. Et les formules ne font jamais que donner ce quotient. Un exemple typique est la série des puissance de x. 1+x+x^2+x^3+x^4+... On peut montrer que quand x est dans le disque centré en 0 et de rayon 1, cette série définie une fonction dérivable au sens complexe, on peut même calculer sa dérivée qui est 1+2x+3x^2+... et on peut même calculer la valeur de la série pour ces x, c'est 1/(1-x). Oh, c'est le quotient de deux fonctions dérivables au sens complexe partout (1 et 1-x). Et bien le théorème nous dit qu'il n'existe qu'une seule fonction définie partout sauf en x=1 et dérivable au sens complexe, qui prend les mêmes valeur que notre série sur le disque centré en 0 et de rayon 1. Et c'est forcément 1/(1-x) vu que cette fonction vérifie les conditions. C'est fou que ce soit UNIQUE, ça doit vouloir dire quelque chose que ce soit unique, non ? Et donc, pour x=2, on a 1/(1-2) = -1. Donc on aurait 1+2+4+8+16+... = -1, ce qui semble complètement débile. Mais c'est là qu'une chose étrange se passe, il existe des nombres (les nombres 2-adiques) où cette série a un sens, et si on fait la convergence au sens "2-adiques" ont trouve -1. C'est "comme si" le prolongement analytique "tenait compte" des autres façon de converger. Tu peux te demander l'utilité, mais écrivons 1+2+4+8+16+... en base 2. Ca fait 1+10+100+1000+.... = ....1111111, en "abusant" de la notation usuelle. Bah, c'est bien joli, mais ajoutons 1 : ...111111+1 = ...0000000. Whoa, c'est "comme si" c'était vraiment -1 en abusant de la notation. Et encore une fois, dans les nombre 2-adiques, cette notation a un sens et fonctionne très bien. Tellement bien que l'appareil sur lequel tu lis ce message encode les informations de cette façon (tronquée).

La série des 1/n² tout simplement

@@e.c.3426 oui, c’est ce que j’ai dit. Je l’ai juste laissé développée. On peut réduire, mais quand on a l’habitude de cette écriture c’est égal.

En fait, les sommes infinies ne peuvent pas être manipulées avec légèreté, sous peine de tomber dans le paradoxe que tu es en train de décrire. Ces séries ne sont pas convergente, et c'est pourquoi il faut dans un premier temps dire que 1+1+1+1+1+... tout comme 1+2+3+4+5+... sont égaux à l'infini. Dans un second temps, une fois que l'on a redéfinit le sens d'une limite de série non convergente et compris ce que l'on peut faire ou non avec ces séries, on peut leur attribuer des valeurs. En particulier, pour attribuer une valeur à une série non convergente, il n'est pas autoriser de regrouper les termes (si on l'autorisait, on pourrait que tu le montres attribuer deux résultats différents à une même somme). Bref, les séries non convergentes sont difficiles à manipuler proprement !

+El Jj : jolie vidéo, tes remarques en début de vidéo sont sympas. Pour ton exemple ici présent, tu peux également parler de la commutativité qui saute pour les séries semi-convergentes ainsi que le problème du produit de séries convergentes qui peut donner une série non-convergente. +Spencer one : c'est difficile de donner un sens "simple" à ces réponses. On est tellement habitué à nager dans les réels qu'on en oublie que ces derniers ne sont qu'une construction parmi d'autre, d'un point de vue mathématique. De même, la notion de convergence n'est qu'un choix arbitraire (mais qui marche bien pour ce qu'on souhaite faire) mais d'autres propriétés mathématiques amènent la création d'autres convergence et d'autres ensembles de nombres. Qui n'ont pas grand chose en commun avec les réels. Par exemple, mon travail m'anèe à étudier des ensembles où la somme des puissances d'un nombre premier fixé (donc si p est un nombre premier fixé, par exemple 2 ou 3 ou 43 ou etc) 1+p+p^2+p^3+p^4+... = -(1/p-1). Ca a un sens pour ce que je fais ;)

T'es pas le premier à y avoir penser

En fait il faut distinguer les + de la sommation et les + d'addition de nombres complexes. Quand tu écris 1 + 1 + 1 + 1 + ... = 1 + (1 + 1) + (1 + 1 + 1) + ... tu confonds les + En fait pour mieux comprendre il vaut mieux formaliser, au lieu d'écrire u0 + u1 + u2 + ... on écrira ∑(un) ce qui est plus "intuitif" car formellement une série complexe c'est une application qui à une suite complexe associe un complexe Du coup on aura par exemple l'égalité zêta(2) = ∑(un) = pi²/6 (= 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ...) avec u0 = 1 et un = 1/n² pour tout n € IN* Et donc dans ton exemple, en passant de 1 + 1 + 1 + ... à 1 + (1+1) + (1+1+1) + ... tu passes en réalité de ∑(1) à ∑(n), puisqu'on part du principe que les parenthèses délimitent les termes de la suite dont on calcule la série En réalité le fait de pouvoir sommer comme tu l'as fait sur certaines suites est une propriété contingente qui marche uniquement pour les séries convergentes (il me semble) mais ce n'est pas une propriété axiomatique des séries. ;)

@@neloka4313 Merci pour ton commentaire. Selon moi, il est Important c'est de Souligner qu'une SUITE n'est pas équivalent à L'ADDITION DE PLUSIEURS NOMBRES, du fait que la première est UNE ADDITION N-AIRE ORDONNÉE, donc la seconde PLUS une autre propriété, et que l'on peut définir d'autres types de suites en rajoutant d'autres propriétés restrictives, ce qui bien évidemment peut donner des résultats Très Différents de L'ADDITION ARITHMÉTIQUE COMMUTATIVE. Qu'en penses-tu ?

+akanegally Merci :)

Merci pour ton commentaire ^^

Il est très probable que P ≠ NP. Une preuve de cette inégalité confirmerait ce que tout le monde pense et n'aurait aucune influence sur la société. Une preuve non-constructive de P=NP ne serait pas très utile: on aurait un résultat théorique du style il existe un exposant p fini tel que O(NP)

Je n'y connais pas grand chose en physique, donc je peux pas raconter grand chose sur l'effet Casimir, mais tu peux lire l'article de Science étonnante sur le sujet : sciencetonnante.wordpress.com/2015/09/11/leffet-casimir-et-le-retour-de-12345-112/

c'est quoi les nombres de bernoulli? le reste ca va mais la du coup je peux pas comprendre la formule

Car Micmath à fait une vidéo totalement absurde. La somme des entiers positifs est une série divergente donc par définition elle ne converge pas vers une limite fini ainsi en travaillant dessus comme il l'a fait dans sa vidéos avec tout un tas d'autre series divergentes il a supposé que cette série converge ce qui est faux donc son résultat est absurde C'est comme dire que si tu avais des ailes tu pourrais voler donc même sans ailes tu serrais voler ....

Dans l'effet Casimir en calculant une énergie on trouve un infini qui provient de la divergence de la somme des entiers naturels. Il se trouve qu'on peut soit régulariser la somme et utiliser le prolongement de la fonction Zeta et trouver un résultat fini, soit de manière équivalente prendre en compte des effets de bords électromagnétiques qui rajoutent des termes "d'amortissement des hautes fréquences"et font converger la somme vers -1/12 * une constante. Les résultats obtenus sont égaux et sont ceux qui sont physiquement corrects. Donc l'effet Casimir ne "prouve" en rien que la somme des entiers vaut -1/12 (puisqu'elle diverge), cependant il peut donner une belle application des prolongements et des régularisations de sommes divergentes.

Concrètement, l'hypothèse de Riemann fournit (bien que ce ne soit pas évident au vu de sa formulation) un ordre de grandeur du nombre de nombres premiers inférieurs à un nombre donné, ainsi qu'une estimation de l'erreur dans cet ordre de grandeur bien meilleure que ce que les gens sont actuellement en mesure de démontrer.

Renaud Riff : concrètement ζ'(s)/sζ(s)-1/(s-1) est la transformée de Laplace de ψ(e^u)-e^u où ψ(x) compte le nombre de nombres premiers inférieurs à x. Connaitre les poles de ζ'(s)/ζ(s) (donc les zéros de ζ(s)) permet de majorer ψ(x)-x. C'est aussi (étrangement) le seul moyen connu de le faire. en.wikipedia.org/wiki/Explicit_formulae_(L-function)#Riemann.27s_explicit_formula

Globalement, les matheux n'ont juste pas de meilleure piste alors ils tentent des trucs.

c'est ce qu'on appelle une fonction analytique

Presque toutes les fonctions classiques (analytiques) se décomposent ainsi. C'est surtout que la même decomposition marche quelque soit la valeur de x et du coup on dit qu'il a un rayon de convergence infini. La technique d'Euler ne marchera pas sur 1/(1+x) malgré le fait qu'en tout point on peut l'écrire comme une somme infinie de polynômes. Le problème là c'est que ça peut pas être le même polynôme infini en chaque point. Le domaine d'applicabilité de cette décomposition polynomiale sera toujours limité du fait que le dénominateur a un zéro en x=-1. En fait même parmi les fonctions qui ont un rayon de convergence infini la decomposition d'Euler est correcte modulo des histoires de convergence et de régularisation mais aussi modulo un facteur supplémentaire contenant une fonction qui n'a aucun zéro. Par exemple exponentielle n'a pas de zéro et sin(x) exp(x) a les mêmes zéros que sin(x) du coup d'après la décomposition d'Euler, en les traitant comme des polynômes, ils vont se factorizer de la même façon ce qui est absurde. En fait le problème là c'est que exp(x)=(1+x/n)^n pour n qui tend vers l'infini donc il y a un zéro en x=-n qui se trouve en plus infini pour n infini et qui manque dans l'analyse. Pour plus de détails voir le théorème de factorization de Weirstrass sur Wikipedia par exemple (l'histoire du zéro à l'infini pour l'exponentielle est ma vision personnelle et il se peut que vous ne le trouverez pas écrit ailleurs).

Anfield Lights surtout quand on sait que le meilleur joueur de l’histoire du tennis vient de Bâle !

Bale et son célèbre trou!

non

C'est forcement vrai ou forcement faux (ça ne peut pas être ni vrai ni faux, ou vrai et faux si on a une question correctement posée) par contre ça peut être indémontrable. D'ailleurs y'a un théorème mathématique qui dit que dans toute théorie mathematique "habituelle" et cohérente, il existera forcément des énoncés indémontrables. On peut par contre démontrer qu'un énoncé est indémontrable...

Si je dit pas de conneries, il existe des problèmes insolvables dans un système d'axiomes donné.

Le théorème d'incomplétude de Göedel

Oui et le second montre que l'on ne peut pas savoir si une théorie axiomatique est contradictoire tant qu'on a pas montré qu'elle l'était (si elle l'est), me semble-t-il ?

Mougrouf pour faire plus clair "on ne peut pas montrer qu'elle est cohérente", mais il y a quand même deux-trois hypotèses et on connait des théorie qui ne les respectent pas dont on a pu monter la cohérence.

+Baptiste Loreau Il met un Groudon sur la tête de Xavier Gourdon , lel

11:36

On dirai t raptor dissident

Mr.VB coder je suis dans le même cas que toi

Je suis sûr que t’a une fonction zêta en vb que tu peux importer 🤣

non en analyse de fonction c’est une droite définie sur un espace précis

Les Maths ne sont pas censées être utiles. Il s'agit plutôt d'une forme d'Art. Est-ce que l'Art a besoin d'être utile? Non? Pourtant, les gens apprécient l'Art. Ça te convient comme réponse?

Quantum Plex merci pr ce message constructif 😊

De rien, maintenant tu comprends pourquoi les matheux utilisent souvent les termes "beau" voir "majestueux" pour parler des formules qu'ils ont découvertes...et pourquoi Leonard Euler, Carl Gauss et Srinivasa Ramanujan étaient considérés comme de véritables artistes par les matheux.

Si on maîtrise mieux la répartition des nombres premiers, hypothetiquement plein de système de cryptage seront bons à jeter (si j'ai pas tout confondu)

Rien... il y a une faute c sur ;)