Из К опустить перп-ры на АВ и АС, они равны √3\2 (из верхнего п\у тр-ка). В нижнем п\у тр-ке катет против угла С вдвое меньше гипотенузы, след. он равен 30°, alfa=135°.

Продлим AB до длины AC. Треугольник ACK равен AC1K, по 2 сторонам и углу между ними. Точно так же докажем что BKC1=90°, tgC1=1/√3, C1=30°, BAK=30/2=15°. Внешний угол AKC=120+15=135°.

Благодарю Вас, от таких методоа решения задач повышается настроение

Тригонометрия далека от меня.А геометрия-настоящий кокаин для мозга.Спасибо,Валерий.

Красиво! От души!!!

AB/AC = 1/sqrt(3) AC/sin120° = AB/sinACB => sinACB = AB/AC*sin120° = 1/2, значит, угол ACB = 30°, так как сумма углов в треугольнике 180°. Далее BAC тоже 30°, половинки по 15°, поэтому искомый угол 135°

Без доппостроений: АВ/sin(60* - /_A) = AC/sin120* =2AC/√3 = 2AB√3/√3 → sin(60* - /_A) = ½ → /_A = 30* → /_AKC = 135*. Но решение от @Olga-fv6jy с проведением высот на АС и на продолжение АВ, по-моему, самое лучшее.

ну первое что приходит в голову - по св-ву биссектр АС=коренизтрехАВ... тогда теорема косинусов для треуга АВС... а потом та же теорема для треугов АВК и АКС, где приравниваем углы, находя АК... ну и потом угол КАС находим... бардзо ценжка праца в общем

У меня другое реш-е. Обозначил биссектр АК=х. По теореме синусов определим х по sin(BAK). Потом опять по теореме синусов определим sin(C) по только что определённому выражению для "х" используя. sin(CAK) = sin(BAK). В итоге получили sin(C) = 1/2. Значит угол С = 30°. Тогда треуг. АВС равнобед и угол ВАС = 30°. В этом случае угол АКС = 180-30-15 = 135°.

Можно безо всяких доппостроений применить т-му синусов к тр-кам АВК и АКС и, воспользовавшись тем, что АС=АВ*√3 (по св-ву бис-сы), обнаружить, что АК равен радиусу окружности, описанной вокруг АКС. А поскольку угол КСА вписанный в эту окружность, то он равен 30°. Следовательно, АКС=135°. Ещё можно обозначить стороны АВС через х и х√3 и записать т-му косинусов и не ища решения просто подставить туда х=1+√3 (ну вот озарение пришло) и обнаружить, что АВС равнобедренный. Но здесь, конечно, возникает вопрос единственности.

Опустим перпендикуляры KM и KN на стороны AC и AB. По свойству биссектрисы KM=KN. Угол KBN равен 60, BK=1, значит, BN=корень(3)/2. В прямоугольном треугольнике CKM CK=корень(3), KM= корень(3)/2, Значит, угол C=30. Угол A=30, угол CAK=15, значит, угол AKC=135.

Отрезок ВВ1 не нужен вовсе. Достаточно из точки К отложить отрезок под углом АКВ к биссектрисе АК против часовой стрелки. В принципе, это то же самое, что сложить по биссектрисе АК.

Куда-то пропал камент. Еще раз. Нам нужно найти половинку ВАС. Опускаем перпенд АД на продолжениие ВС. в АДВ углы 90-60-30 . Пусть ВД=а, тогда АВ=2*а и АД=а*√3. Но по свойству биссектрисы АС/АВ=√3/1. в АДС угол прямой , АД=а*√3 и АС=2*а*√3. Откуда угол АСВ=30, ВАС=30, ВАК=15 и АКС=135 Ответ:135°

Опустим высоту ВН на АС, АВ=2х, АС=2√3х, АН=√3х (по свойству бисектрисы), соsВАС=√3/2 , ВАС=30, ВАК=15 искомый АКС=135!

А с чего бы B1 лежит на AC. При таком уровне доказательсва уж лучше воспольщоваться детскими методами. В частности: BH - высота ABC. В ABH BAH=30° (его стороны относятся как 1:2:корню из 3, зн углы 30°-90°-60°). AKC=120°+30°/2=135°

Добрый вечер, Валерий! Подскажите, пожалуйста, что означает «построение точки, симметричной данной, относительно прямой…». Заранее спасибо! Решал, проводя из точки K перпендикуляры к AB и AC

Складываем по АК... 135

Проведем высоту ВН , обозначим АВ=2х, по свойству бисектрисы АС=2√3х тогда АН=√3х и cos ВАС=√3/2 , угол ВАС=30 ,ВАК=15 и искомый 120+ВАК=135!

Для доказательство 30 градусов опустим высоту КН, которая =√3/2 и получим прямоугольный в котором катет равен половине гипотенузы и законные 30 !

Почему после обнаружения, что угол КВ1С равен 60 гр, угол КСВ1 непременно равен 30 гр? Ведь если мы заранее знаем, что угол СКВ1 прямой, то и угол ВКВ1 прямой , а для решения задачи этого достаточно.

А где док-во, что B1KC=90°?

В данном случае с розовым прямоугольным всё в порядке. Он точно равен СКВ1, поскольку угол 60 лежит против бОльшей стороны. Вот и всё доказательство. Этим "горячим головам" нужно только это подчеркнуть.

Не увидел почему с=30гр?

Построили точку В1 симметрично В. А кто сказал, что она будет лежать на АС?