Как набрать МИЛЛИАРД ★ Геометрическая прогрессия на шахматной доске ★ Теория шести рукопожатий ★ ukposts.info/have/v-deo/jXp5hWZ6iaOitWg.html Давайте вместе проведём эксперимент - наберём 1000000000 просмотров! Поделитесь этим видео ukposts.info/have/v-deo/jXp5hWZ6iaOitWg.html со всеми своими знакомыми. Напишите им и предложите поучаствовать в этом эксперименте. Проверим вместе как работает геометрическая прогрессия. Напишите в комментариях свои прогнозы: получится или нет?

Метод подбора - это когда посмотрел правильный ответ в конце учебника, а как решить не знаешь.

Обожаю логарифмы особенно когда ты их не знаешь.

"Методом подбора" 😂 Вот это самое сильное место в решении🤣🤣🤣

Главное смотреть с умным видом как будто всё понимаешь)))

В доказательстве существования второго корня есть логический пробел: то, что функция в минимуме отрицательна, а слева от минимума убывает, ещё не гарантирует, что она прошла через 0. Она могла бы, например, при движении вдоль оси влево стремиться к 0. Надо хотя бы показать, что где-то слева от минимума функция была больше 0. Это в какой-то мере компенсируется потом подбором второго корня (и его наличием), но всё-таки.

Из того, что функция убывает на отрезке (0,1/e] и имеет отрицательное минимальное значение в точке 1/e, не следует сразу же, что она пересекает на этом отрезке ось абсцисс, это нужно проверять.

Вариант решения за рамками школьной программы, но для любых чисел стоящих справа, а не специально подогнанных: x^x = a ln(x^x) = ln(a) x * ln(x) = ln(a) e^(ln(x)) * ln(x) = ln(a) W(e^(ln(x)) * ln(x)) = W(ln(a)) ln(x) = W(ln(a)) x = e^W(ln(a)) Где W - это W функция ламберта Если отбросить мнимые значения то, W от ln(1/2 ^ 1/2) для нашего примера принимает 2 значения при возведении Е в степень которых получается 1/2 и 1/4. Такие уравнения, если применять только школьную программу (и даже институтскую в некоторых вузах), включая дифференцирование, интегрирование, не решаются никак кроме как подбором. Поэтому маловато толку в таких примерах

Спасибо, Валерий !! Эту задачу сегодня решил похожим методом. Взял производную от х^х. Она берётся неявно через логарифмирование : y" = х^x *( ln(x) + 1). Далее получил промежутки возрастания и убывания и две точки пересечения ( не обязательно даже их знать ) с горизонтом y = sqrt(2)/2

Всё верно, но два замечания: 1. надо проверить на то, что функция на исследуемом участке всюду дифференцируема 2. "Метод подбора".... извините, несколько странен для математики. Это хорошо ещё, что вы свели всё к целочисленной задаче, а если бы там полезли трансцендентные или хотя бы иррациональные числа? Вы уверены что во всех случаях надо вести подбор исключительно среди натуральных чисел?

Понравилось применение исследования функции к решению уравнения. Люблю этот приём. Хороший выпуск.) Спасибо.

Гениально. Никогда бы не подумал, что возможно a^a=b^b

Ну, если в комплексных числах решать, то наверное использовать W-функцию Ламберта. Для этого после логарифмирования обеих частей уравнения представим x*ln(x) = ln(x)*e^(ln(x)). Тогда после взятия функции Ламберта получим ln(x) = W(1/2*ln(1/2)) => ln(x) = W(-0.5ln2) => x = e^(W[i, (-0.5ln2)]), где i € Z. Получаем все комплексные решения уравнения. Действительные значения 1/2 и 1/4 получаются при i = 0 и i = -1 соответственно.

Когда рисовали график справа налево: т.к. функция имеет корни справа от точки 1/е, и функция была возрастающая, то логично, что она пересекает ось абсцисс, но до точки 1/е откуда взялась уверенность, что там точно будет пересечение? Данный факт не очевиден. Функция (когда ее рисовали справа налево) могла постоянно расти постоянно приближаясь к 0, но могла и не пересечь ось абсцисс (т.е. быть ограниченной сверху). Надо дополнительно брать любую точку левее 1/4, подставлять в функцию и показывать, там значение больше нуля, а значит от этой точки до точки 1/е точно будет ещё один корень в виду непрерывности функции.

Можно просто использовать производную (x^x)' = (x^x)(ln x + 1), а при её нахождении сослаться на соответствующее предыдущее видео. То, как устроена эта производная, быстро поможет понять, что корней на самом деле два.

Валера! Как всегда замечательно! Копал огород, устал -- думать не хотелось. Дай, -- думаю, -- посмотрю, как там решаются такие сложные задачи?... Легко! Даже стыдно теперь, что не стал напрягаться и сразу посмотрел ответ.

Можно еще прологарифмировать по основанию 2 log2(x) = -1/(2x), а потом просто стоить график, одна точка 1/2, следующая 1/4 - только ее и удобно считать. она и есть второе решение.

Метод подбора можно упростить. y½ = кв. корень y. Всё, что нам остается - найти одно единственное число, удовлетворяющее следующий запрос: y² = y * 2 = y + y, что легко сводится к 2.

Исследование функций прямо-таки облагораживает и заставляет мыслить

Очень красивое уравнение! Спасибо за Ваш труд)

Т.е. наличие именно 2-х корней у функции f(x) нужно было проверить подстановкой и исследованием найденной точки минимума (1/e) в нее? Если точка минимума в отриц. области и функция слева убывает, то последняя 2 раза переходит через ноль и т.п.?

Из всего решения я понял только как доказывается, что корня два. Первый корень находится на отрезке (1/e; бесконечность) и второй на отрезке (0; 1/e). А дальше начинаются чудеса! Первый корень 1/2 нашли каким то непонятным способом, который автор назвал "просматривается корень" :D. Второй корень 1/4 нашли вообще каким то сакральным способом :D. На интервале от 0 до 1/e находится бесконечное множество точек, а не только "1/3, 1/4 и т.д". Например, 4/13 и 3/11. Таким образом, получается, что второй корень был найден способом "тыкнуть пальцем в небо" и чудесным образом на второй попытке (из бесконечного множества) нашли нужный. Вы действительно считаете, что "просматривается корень" и "тыкнуть пальцем в небо" - это способы решения задачи? Попробуйте решить уравнение x^x=3. Интересно узнать как там просматривается корень и сколько раз будете пальцем в небо тыкать))

Не понравилось решение в конце методом подбора. А если бы вторым корнем была бы сложная дробь, мы бы так просто не подобрали

First, see LHS. x power x we cant isolate x so we Lambert W function. Second, we power Both sides with (1/x). It becomes x= (1/√2)^(1/x). Now to use Lambert i.e W(xe^x) =x, we exponentially raise 1/√2 as e^(.5ln.5*(1/x)). Thus x= e^(.5ln.5/x). Now we multiply .5ln.5/x on both sides to utilize the Lambert function. Now .5ln.5 = ue^u which if we Lambert W both sides. We get X= (.5ln.5)/W(.5ln.5) Please Correct me If I am Wrong. :)

На мой взгляд, даже несмотря на то что минимум f(x) лежит ниже оси абсцисс, ни разу не очевидно, что слева от точки минимума на области определения график обязательно пересечёт ось абсцисс. Если уж совсем строго рассуждать, необходимо посчитать предел функции при х->+0 и убедиться, что он больше нуля. И вот тогда пересечение будет очевидным.

подбором? Не, так не честно!

Свежая задача. Интересная.

Какой оказался наполненный пример (как айсберг, всего себя, кроме верхушки, скрывал под водой). Второй корень существует благодаря особенному свойству числа "2", 2+2=4, 2*2=4...? Спасибо Вам, Валерий! Счастливого Рождества!

Ну-и-ну..... Это действительно интересно!

Как решать данную задачу, если метод подбора не работает? Можно ли решить равенство, содержащее x^x (икс в степени икс) аналитически?

Есть неточность. Если функция меньше нуля и увеличивается при уменьшении аргумента это не значит что она станет положительной. Нужно было поставить например 1/10 и убедиться что значение положительное. Вот тогда можно уже утверждать что есть второй корень. Но решение супер. Спасибо!!

Данное видео хорошо показывает, что решений в уравнении 2. Но вот нахождение второго корня, точнее его подбор... Хотелось бы узнать возможность нахождения второго корня для более общего уравнения, где "1/2" заменяется на "1/a", получится функция x*ln(x)-1/a*ln(1/a). Все начальные выкладки данного видео сохраняются: 1/e - min функции, только при a>2 =3,4,5... второй корень будет находится правее 1/e, даже можно оценить, в интервале (1/e; 1). Т.к. уже при x=1 функция x*ln(x)-1/a*ln(1/a) будет иметь положительное значение.

Не очень очевидно, почему подбор второго корня производили среди чисел вида 1/n. Почему б 2/7 или 13/125 не проверить сначала?

1/4^1^4=x Sqrt4(1/4)=x Sqrt4(1)/sqrt4(4)=x 1/sqrt4(4)=x 1/sqrt(4)=x² 1/2=x² 1/sqrt(2)=x 1/2^1/2=x Sqrt(1/2)=x Sqrt(1)/sqrt(2)=x 1/sqrt(2)=x

Задача интересная. А можно ли решить ее по другому, другим методом?

Ну, те, кто не знает, что такое логарифмы, не умеет обращаться с функциями, 1/2 - это и есть 1 корень. Это для 9-11 классников 2 корня.

Тогда уж решите пример "Х = 1/2". Тоже много авриантов)))) х=1/2 х=cos(π/3)

Очень классно! Спасибо за ролик!

Валерий, строго говоря, вы не доказали, что есть второй корень. Если функция убывает на (0;1/e], то убывать может по-разному. Важно, что при х -> 0+0 предел функции равен + бесконечности, тогда в силу разных знаков (при х, близких к 0 и в точке 1/e) график пересечёт ось х внутри интервала (0;1/e) А вот то, что корней не более 2-х, следует из исследования на монотонность Спасибо за задачу! П.С. Угадать 1/4 - тоже не очевидно, как...

Очень интересно, спасибо.

Просто класс!!! Спасибо ❤️

К сожалению если функция возрастает, это ещё не значит, что она где-то обратится в ноль, так что мы доказали не наличие двух корней, а то что их не более двух)

На 4:37 логическая ошибка. То, что функция убывает, не означает, что она пересекала точку 0. Она могла убывать, например, начиная скажем c -1/N на области определения. Для правильности подхода, надо было подставить какую-то точку (скажем 1/10) и убедиться, что в ней функция больше нуля

Есть небольшая логическая ошибка: Функция возрастает, но она может не успеть достичь оси ОХ, т.е. возрастание функции не гарантирует наличие второго корня. Нужно добавить исследование предела справа от 0.

Автор лукавит, так как в начале задачи не оговорил, что x^x это функция и поэтому x>0. А если не принимать эти ограничения, то можно найти ещё корни этого уравнения. Мы же умеем возводить в степень отрицательные числа на примере функции x^n. Кроме того, следует учитывать, что (1/2)^(1/2)=±1/√2 по формуле Муавра

Гениально! Очевидное не всегда является единственным.

Хорошая задача

Привет из Баку. Спасибо за нахождение второго корня.

Редкий случай,когда не хочется смотреть до конца. Почему-то не первый уже раз не начинаете с одз. Можно найти экстремум,а затем проводим прямую у=√0.5. Четко видео ,что две точки пересечения, т.к. самая нижняя точка (экстремум) функции y=√x в степени √х ниже ,чем √0.5. Такие уравнения лучше всего решать графическим способом. Это и просто, наглядно, и доступно. Да и на глаз видно,что ответы 0.25 и 0.5.

Дуже переускладнений метод що до "де зростаємо, де спадаємо". Він якогось біса у всіх підручниках є, але користуватись ним -- збочення. Як пропоную: розбиваємо функцію на добуток декількох монотонних (в даному випадку сама функція монотонна). В ідеалі -- монотонно-зростаючих. Якщо ми знаємо, що функція монотонно зростає, то лівіше свого нуля вона буде від'ємна, а правіше нуля -- додатна. далі можна просто відмітити нулі функцій на осі, поставити плюсик правіше крайньої точки і в кожній точці змінювати знак, якщо в ній непарна кількість функцій "занулюється", або НЕ змінювати -- якщо парна. Так само можна і з дробовими виразами робити. Замість монотонних підійдуть функції, про які ми точно знаємо що до їх знаку "зліва/справа" (наприклад: 1 / (x - 3) -- справа від 3 додатна, зліва -- від'ємна... вона в принципі попадає під "монотонну у знаменнику", але чисто для прикладу згодиться) В цьому випадку: f(x) = ln(x) + 1 нуль функції у f(1/e), вона монотонно зростає на інтервалі (0, +inf). одразу робимо висновок, що правіше f(x > 1/e) > 0, f(0 < x < 1/e) < 0 без додаткових підстановок та обчислень. В даному випадку це не набагато ускладнює, а от у випадках більш складних функцій -- за запропонованим методом просто одразу записується відповідь, поки "класики" все ще підставляють...

Мое решение x^x=(1/2)^(1/2). Это можно переписать как x^x = √(1/2) = x^2x = 1/2. Замечаем, что x должен быть равен (1/2)^2 = 1/4.

Спасибо за разбор! Есть пара вопросов: 1) почему убывание функции на (0; 1/е) говорит о наличии второго корня? Теоретически же предел к +0 может быть меньше ноля? 2) можно как-то без подбора решить?

Не надо неполному ответу придавать статус неверного. 1/2 - верный ответ, но не полный. Даже если вы догадались и назвали правильный ответ, в строгой математике к вам нет претензий. Подставили, проверили, верно, ответ принят. Если пропустили корень на экзамене, минус баллы. За неполный ответ.

В окрестности критической точки производная произвольной функции может не сохранять знак, поэтому вычисление значения производной в двух выбранных точках является математически некорректным. Не проще решить неравенство и определить в общин виде знаки производной?

Спасибо, было интересно!

Я не понял, а почему мы сразу отбросили 1/3 как корень и сразу взяли 1/4?

Красиво! Спасибо **

Супер! Спасибо!

Валерий, давно хотел спросить, а почему всегда после нахождения точек экстремума, и в этой задаче, и во всех других, вы проверяете знак на всех отрезках между ними? разве не достаточно проверить лишь на одном, самом удобном, а далее прочередовать их?

Доказано что других корней нет, все ответы найдены, уравнение решено. Спасибо за решение.

Это чувство, когда нашёл второй корень 1/4 просто размышляя о том, какими другие корни могут быть

Боже, какое счастье, что я закончи школу, да и вуз уже почти 10 лет назад, и забыл математику, которую там знал почти на отлично. Как мне жаль тех, кто мучается с этой недонаукой

Красивая задача, вот эта решается в уме через производную) Хотя если бы не напоминание, есть соблазн закончить решение на х=1/2

хохма в логарифмировании. Лог по другому основанию дает точку минимума в 1/основание - и таких точек минимума будет бесконечное множество в зависимости от выбранного основания логарифма. Причем дальнейшие рассуждения все будут верны и для логарифма по любому основанию, вот только точки пересечения слева от точек мин. (бесконечных в перечислении по вариации основания лог-ма) также ВСЕ будут бесконечно разные.... т.е. ур-е имеет бесконечное число решений...

волшебно. х=1/4 никак не просматривался

Решений, вообще-то, много больше, если расширить поле корней на комплексное множество. Проще говоря, если искать ещё и комплексные корни. Два решения только среди множества действительный чисел R. К тому же куда проще было решить это уравнение графически, поскольку оно и так трансцендентное. Стало быть не имеет аналитической формы записи в виде простой формулы-ответа. Опять же - поиск производной есть одна из ступеней построения геометрического образа степенно-показательной функции (графика)

Условие: х = 4 Валерий: Х НЕ РАВНО 4, ТАК КАК...

Чистая подгонка ответа. Откуда взялся натуральный логарифм, а не скажем логарифм по основанию 2 или 10?

Красивое интриговевидео Благодарю

Показательно как человек усложняет себе жизнь,не только в абстрактном плане.

X не обязан быть неотрицательным. X в степени ни x должен быть неотрицательным, и тут невооруженным взгядом можно увидеть корень -2

Вы лишь доказали, что в интервале от 0 до 1/e может быть корень, а может и не быть. Может функция не пересечет там ось, а что при x меньше 0 происходит вообще не сказано. Поэтому надо было сразу переходить к угадайке. Но знайте, там 3 корня. Один вы так и не нашли.

Красота)

Заслуженный лайк.

Потратив час і перечитав усі коментарі... Здається, не всі зрозуміли, що це був приклад того, яка небезпека очікує при розв`язуванні "Незвичних" рівнянь та може призвести до втрати коренів!!! Я думаю, це головне, а не спосіб знаходження самих коренів. Конкретно рівняння цього загального виду не мають аналітичного розв`язку. Корені з певною точністю можна знайти, використовуючи, наприклад, метод хорд тощо. Але спочатку потрібно з`ясувати чи є корені і скільки їх. Це ми робимо, наприклад, при розв`зуванні навіть рівнянь другої степені, знаходячи дискримінант! а вже потім самі корені... По суті, коли ми кажемо, що х=пі, то це також наближене значення з певною точністю.

ф-ция x^x имеет экстремум (минимум), а потому пересечение ее с горизонталью 0,5^0,5 происходит в 2-х точках: x=0,25 и 0,5

На самом деле из монотонного убывания функции на интервале (0; 1/е) вовсе не следует, что она имеет на нём нуль. Она могла монотонно убывать от 0 или любого отрицательного числа, больше f(1/e). Нужно было показать, что функция меняет знак на интервале (0, 1/e). Ну, а решение уравнения методом подбора - это вообще песня...

А почему самый простой ответ неправильный? Там же все очевидно. Как технолог скажу- таких мудрецов надо куда подальше посылать, а то время проектирования превышает время спроса на продукт. То есть, пока проектируем, рынок уже исчезнет.

Very good and very educative. Thank you very much. And although I understand Russian very good (I studied in USSR in MEI) I am sorry for writing in English coz I don’t have Russian keyboard. I follow all your clips. Keep the good work. 🌺

Добрый день, всем. Раньше по математике в институте была пятерка. Сейчас прошло 11 лет и плохо понимаю даже это видео. Это нормально?

Супер!

Решение понятно, лайк. как же я функции не люблю. Когда диф уры будут.

Супер! Численное значение 0.5^0.5=0.7071 и если написать "решите уравнение х^х=0,7071, то я уверен что два корня нашли-бы процентов 90. А так просто конфетка.

Благодарю за знания

даже не пробуя, я вижу, что без вас я это не решу

Лайк поставил после слов " приблизительно равен два и семь" . Вспомнился анекдот про штурмана и логарифмическую линейку.

Валера, объясните пожалуйста: а если взять f(x)=0=xlgx-½lg½ или любой другой логарифм. Тогда производная f'(x)=0=(1/(xln10))+1. Народ прав: в зависимости от взятого логарифма ответы могут разнятся, а значит, это уравнение имеет скрытый параметр а в основании логарифмирования, где по одз а>0 и не равна 1. Я думаю, это уравнение не так просто на первый взгляд и решать тут лучше через параметр в основание логарифмирования. Если не прав, докажите это. Пожалуйста, объясните этот момент. Я могу и ошибаться, конечно.

Хорошее объяснение.

Отличный метод решения! Если решать "в лоб", то с функцией x^x сплошные мучения будут.

4:38 - с чего это мы решили, что функция второй раз пересчёт Ох?)

А как мы поняли что второй корень лежит между нулём и 1/е, а не слева от нуля, например? Я понимаю что х должен быть больше нуля, но это же не значит что мы не могли бы найти такой корень, который нам бы пришлось отмести по ОДЗ

Спасибо. Прелесть.

Не зря говорят решить интеграл или уравнение всегда легко, а попробуйте к задаче с текстовым условием подобрать ну почти, что такое же уравнение, а вот это не так то просто

Здравствуйте! А как вы думаете, что такое Х.?

наличие второго корня не доказано. функция может возрастать влево от минимума, но не добраться до 0, так и остаться отрицательной. надо еще показать, что в условной точке 1/1000 функция положительна. и еще надо упомянуть, что функция непрерывна, вдруг она возрастает скачками и 0 перескочит?

Прикольный анекдот, ничего не понятно но очень смешно. Смешалось все иксы, логарифмы, точки, осьобцыс, корни, побеги, лошади, люди...

x=0,25 и x=0,5, решил графически, изобразив прямую f=0,5^0,5 и график g=x^x, первый корень не угадал (когда, устно прикинул), второй сразу нашел. На графический расчет потратил 5 минут. Для тех кто не вкурил, когда вы нарисуете достаточно точно, вы увидите, что графики пересекаются в двух точек, я не использовал приближенные методы счета, просто при построении заметил на глаз, какие результаты могут быть ответом, а далее заметил симметрию корней относительно минимума функции g, тогда легко от x1-2*(x1-min(x(g)))=x2, что я и сделал. min(x(g))=0,375, тогда, если x1=0,5-2*(0,5-0,375)=0,5-2*0,125=0,5-0,25=0,25. Все! P.S. Если искать минимум от производной, то выйдет 1/e, а не 0.375, но это не сильно принципиально, ибо очевидно, ответ должен быть кратный 2, и по идеи симметричный относительно некой точки минимума, даже не смотря на разную кривизну g(0,1], оттого можно предположить, что 1/e, приближенное значение, а 0,375 - точное, на сегодняшний день число e до сих пор не до определённо, оттого вполне вероятна погрешность в расчетах. Ну и последняя мысль, чем меньше разность между корнями (расстояние), тем они более симметричны относительно какой-то точки и уже не важно какой, так как погрешность тоже будет мала, используя этот факт задача решается на Изи. Если б расстояние было более указанного мной, то погрешность от ассиметрии корней росла и была существенной!

Вот поэтому Альфред Нобель запретил давать премию этим бездельникам.

Если x .это не числовой знаменатель, то он является просто значимым уровнителем на вторичной декаде 1 и ..2.. Где корень определения суммарных чисел является знак = = равенства!

Однозначно лайк!!!