То чувство, когда Борис говорит школьникам это доказать, а я учусь в МФТИ и пришел готовиться к экзамену по этому видео xD

Есть еще четвертая кучка людей (куча на самом деле) - те, кто даже не в курсе, что такое простое число.

С наслаждением пересматриваю ролики Бориса, в том числе и этот. Убеждаюсь, что *чем очевидней факт, тем сложнее он доказывается.*

Я десятиклассник, и, блин, я только с числом k запутался, но каким-то неведомым образом доказательство понял) Борис, спасибо Вам, что сидите у меня в компьютере и рассказываете всякие интересные теоремы))

в моей голове было по аналогии с Простоквашино: чтобы поделить что-то на 3, надо сначало умножить на 3, а у нас тройки нет)

То чувство, когда ты самостоятельно учишь вышмат, слышишь про основну теорему арифметики и думаешь что это что-то из высшей алгебры, а Борис говорит школьникам доказать её

Замечательные рассуждения! Спасибо, Борис!!!

раньше: "Рыбников. Как нас дурят в школьном образовании" теперь: "Трушин. Как нас дурят в школьном образовании"

Очень мощно,просто логически все сказано..Спасибо

Спасибо!! Замечательное доказательство "очевидного". К вопросу о том, что нужно учиться задавать вопросы!

Топовое видео Теперь можно и Фоксфорд продолжить смотреть)

Огромно вам благодарен!

Спасибо большое за видеоролик! 14:05 этот момент не понимал, по этому пришлось перематывать назад несколько раз, но сейчас все дошло😅.

Прекрасное объяснение, спасибо!

Каждый раз при просмотрет включаю палец вверх.

9-10 класснику? Я если своему 11"а" начну такое рассказывать, разжёвывать в течение 2-3 уроков, мне скажут: "спасибо. спасибо, что время потянул, нифига не понятно, но хоть отдохнули"

Очень красивое размышление-доказательство такого, казалось бы совсем простого факта!)

Смотря видео спустя 3-4 года И уже раз 5 Окончательно всë уложилось Спасибо вам большое, БВ

Шикарно объясняет! Чтобы не понять его обьяснение, надо очень и очень постараться!? 😀😀👍👍👍

Спасибо!

Клааас, аж мозги заскрипели, но вроде поняла. Но все-таки пересмотрю

Интересно. Как же много мне не рассказывали

Абсолютно замечательное видео, как и многие на вашем канале. Впервые услышал, когда доказывали, что 1 - не простое(естественно не в школе)

красиво доказано!

Спасибо

Блин, даже забыл что такое есть Спасибо!

Долго тупил но понял спасибо большое)

Вот ни разу я не математик... А и то понял) логика))) спасибо Борис. Очень интересно

Очень классно, спасибо за лекцию! Реально так - есть вещи, которые в математическом образовании пропускают "за очевидностью". И все (кто думает) понимают, конечно, да - очевидно. Но осадочек остаётся. )) Потому как что-то всё-таки, получается, принял на веру. Что ж это за строгая наука такая, где всё равно (как в физике, химии и т.д.) что-то надо принимать на веру?.. Спасибо, что заполняете эти "дыры" в образовании. Тем более, что основная теорема арифметики имет фундаментальное значение.

Мне геометрии на геометрии хватает))) Спасибо, познавательно))) Всё встало на свои места

Нам эту теорему несколькими способами доказывали на занятиях углублённой алгебры Фоксфорда за 9 класс. Довольно занятная тема.

индукцией пользуются, когда очевидно, но доказывать надо :)

Боря, хорош!

Борис, спасибо! Мне кажется, было бы интересно разобрать, где это доказательство ломается в случае нефакториального кольца.

Fire!!!

ничего не понятно,но очень круто

Тема ВУЗа с математическим факультетом в теории чисел!)))

Молодец

Радуюсь, что всё понимаю после окончания бакалавриата по Прикладной математике 😂

спасибо

😮😮😮 Прикольно 😮😮😮

Пусть я и студент , но про доказательство и вправду услышал впервые (ну точнее нам говорили в школе, что там , да , действительно что-то доказывается, но мы будем это юзать просто как факт), я попробовал доказать сам, поставив видос на паузу, мне кажется , что просто это чуть более понятная интерпретация ,1-ю часть доказал как и Борис, 2-ю также начал до момент исключения общих делителей, а далее я представил произведения простых как (чтоб было понятнее буду использовать переменные как в видео) равенство зная что n = p1*p2*p3....pk и n=q1*q2*q3.....*qx , те p1*p2*p3....*pk=q1*q2*q3......qx; тогда любой множитель к примеру р1 можно выразить как: р1=q1*q2*q3....*qx/p2*p3........*pk, но мы знаем что по условию р1 - это целое простое число , следовательно множители числителя должны разделиться на множители знаменателя без остатка, но тк было доказано , что совпадений нет, то по определению простого числа (число делящееся только на СЕБЯ и ЕДИНИЦУ), можно утверждать что ни один из множителей числителя не разделится ни на один множитель знаменателя и это равенство не верно.... - доказано от противного

начало 6:18

У меня мозг в конце ролика нагрелся!

Спасиб я шестиклассник нам в лицее расказали но не доказывали мне стало интересно посмотрел все понял еще раз спасибо извинясь за тофтологию

Самое простое и наглядное док-во этой теоремы, которое встречал. Супер! А по лемме Вильсона нету случайно видео?

Гораздо более интересная штука -- обобщение в произвольном (евклидовом) кольце. Ну а для школьников это неплохо:) Приятно, что пару лет назад учился у вас на курсе и это многое мне дало, спасибо.

Борис Викторович, а сделайте видео пожалуйста про Малую Теорему Ферма. Всем будет очень интересно.

ви зламали мені мозок спасибі

Готовлюсь к экзаменам МГУ по ТРУшину!

На 4:10 поставил на паузу и попробовал доказать: Допустим, что число N нельзя представить в виде произведения простых чисел. Тогда в представлении этого числа в виде произведения будет не менее одного составного числа. Применим те же рассуждения для него. Очевидно, что по мере большего количества разложения составного числа на ещё составные, на ещё составные и так далее, то их множители будут уменьшаться. Фактически разложение мы не сможем применить лишь тогда, когда составное число окажется простым, к чему мы и будем всё это время стремиться. Следовательно, наше изначальное предположение было неверно (самое маленькое составное число оказалось простым, а значит и все остальные составные можно было представить в виде произведения простых чисел), что доказывает теорему.

Спасибо за видео, но проблема такая же, как в моем детстве - на 7:23 Вы уже меня потеряли. Если есть доска и мел, то почему бы не написать 3-5 совсем простых примеров для самых тупеньких? :(

Да ладно, на ФУПМе ни разу не доказывали? Ничоси!

У нас в школе доказывали классе в десятом. Существование так же, как вы, а вот единственность - уже не помню как.

👍👍👍

Это, конечно, дело вкуса. Мне кажется, что лучше доказывать (используя минимальность), что если произведение делится на простое, то один из множителей делится на это простое. Отсюда и будет следовать единственность.

Я почти никогда не слышал об этой теореме и доказал ее за пару минут. Третья группа обнаружена

Даже не знал, что делимость числа на число - не аксиома, а теорема)

я в седьмом классе. Вызов на доказательство теоремы принят(честно не смотрел доку в видео и раньше не слышал об этой теореме): (по определению) простые числа кратны только себе и единице. Также в разложений на простые числа учавствуют только простые числа. => Если попытаться как-то изменить разложение некоторые простые в нем числа придется как-то поделить(невозможно, если рассматривать только натуральные числа), домножить(получится составное число) => числа в разложений никак нельзя нормально поменять без изменения результата => представить разложение на простые числа можно только одним способом.

Я учусь в пятом классе, смотрю это видео для зачёта (не спрашивайте, что я делал на уроках)

По тому, что это связано с логиками, множеством и топологией! Всё это в самых широких смыслах. А это ПОЧТИ всё филькина грамота...

А я и не знал (забыл), что есть такая теорема. Как-то прошло мимо меня и особо нигде в явном виде на практике не использовалась.

Как первокурсник не математической специальности, решил попробовать доказать сам это, а потом посмотрел видео. Ну, доказательство далеко от описанного в видео, хотя я уверен что это не единственное. Доказательство строилось на рекурсии Первая часть: если число простое, то оно уже разложено на простые множители, если число составное, то оно имеет в своём представлении минимум 2 числа, отличные от 1 и самого числа, а так как, эти 2 числа меньше изначального, то они оба имеют простые представления => изначальное число тоже раскладывается на простые Как наглядный пример возьму число 108. 108=4*27=2*2*3*3*3, чтд со второй частью у меня доказательство было похоже, которое ссылалось не к кратности чисел, а к тому, что если взять n/Pn и n/Kn, где Kn!=Pn, то эти оба числа имеют единое представление на простые (из изначального утверждения), дальше можно воспользоваться фактом, что при перемножении на k(или p) мы получаем n=np/k, из чего следует, что n, np кратны k, а так как p!=k, n-np/k кратно p, k,p/k и pk, и естественно меньше n, а так как n-np/k

Вообще, перед доказательством этой теоремы, надо сначала доказать свойство ассоциативности произведения a*b*c = a*(b*c) = (a*b)*c и свойство коммутативности произведения a*b = b*a потому-что эти свойства произведения используются в доказательстве, как само-собой разумеющееся, интуитивно понятное или аксиомы(в случае аксиом, перед доказательством заявить об этом). Также, следует доказать, что множитель меньше(или равен) произведения (возможно это аксиома арифметики, тогда предварительно заявить об этом).

7:05 то есть для не интуитивного, а доказательного подхода мы используем наше интуитивное понимание, что множители, на которые раскладывается данное натуральное число меньше этого числа. Наверное совсем красиво было бы предварить рассуждение тем, что этот факт мы примем без доказательства:))

57 делится на 3)

15:00 Если К | Р (делиться на), то почему мы можем представить К как K=p*c ? Ведь выше мы предположили, что Р нет в разложении. Если по опр. делимости, то не следует ли из этого, что Р по определению есть в разложении К=z1z2...Zn ? Выручайте ))

Подскажите пожалуйста, что если какое-нибудь простое число поделить на другое (не обязательно простое) число, то полученный остаток будет простое число или 1. Объясняется что число остаток должен быть взаимно простым с тем числом на которое делим. Вроде бы и понятный факт, но откуда он берётся и как его доказать не пойму?

@Борис, можно проще - когда доказали, что n делится на p1q1, разделим представление n=p1..pi и q1..qj на p1q1. Получили меньшие чем n числа, p2...pi/q1 - натуральное, p2..pi меньше n, значит его разложение на простые единственное, значит, один из простых множителей p2..pn равен простому q1-противоречие. Верное доказательство?

Я не понимал, просмотрел видео много раз, много конспектировал, ходил, размышлял, помолился Христу и всё понял! Слава Богу и спасибо за объяснение Борису!

"мой прогноз такой, да, большинство.." не нажмет на паузу! я выиграл)

Борис Трушин, хотел спросить по поводу доказательства единственности разложения числа на простые множители. Можно ли было рассуждать так: Пусть есть число q, такое, что его можно разложить на простые множители двумя разными способами. Тогда с одной стороны имеем q = a1*a2*...*a(n-ное), а с другой q = b1*b2*...b(n-ное). Необходимо, чтобы в одном наборе разложения нашлось хотя бы одно число, которого нет в другом наборе. Тогда число q должно нацело делиться на все числа одного из наборов + как минимум на одно из чисел другого набора. То есть q = a1*a2*...*a(n-ное)*z, где z число из второго набора (в данном примере), которого нет в первом. Получили противоречие, значит, разложить число на простые множители можно единственным образом.

Я в 6 классе узнал как это доказывать на мат кружке, до 7 помнил как, а потом забыл, и сейчас смотрю как доказывать чтобы вспомнить

Смотреть с 1:55

Почему если n>=p1^2 и n>q1^2, то n^2>(p1*q1)^2? Я знаю, что есть свойства неравенств, но там они одного знака

Почему любое число можно представить как сколько-то раз по m плюс остаток?

Ещё не смотрел. Теорию чисел ненавижу. Надеюсь вы сможете пролить мне свет на это недоразумение))

Раньше думал, что если перемножить n первых простых чисел и прибавить единицу, то будет простое. А это не так.

Чтобы доказать основную теорему арифметики, надо было придумать алгебру.

​@trushinbv Школьникам и не надо в основной массе что-то за пределами "интуитивной" математики, потому что это только порождает новые "почему": - давайте докажем существование самого маленького натурального, единственным образом раскладываемого числа и приведём его пример (2)? - почему вы в вашем док-ве аксиоматически предполагаете, что 2 раскладывается единственным образом? - почему 2 наименьшее простое число? - что такое простые числа? Так и дойдём до того, что в обычной крестьянской школе надо выкладывать теорию множеств и уже в её рамках приводить ту самую основную теорему арифметики. Поэтому просто маленьким людям, 99,99999% из которых глубины математики совсем не нужны и не нужны будут в дальнейшей жизни, не забивают мозги лишней инфой, а просто дают практичное определение простых и составных чисел. Людям жить надо, а не проходить заново жизненный путь Эйлеров, Гауссов, Лобачевских ПС: И про строгость мат-ки так загоняться не стоит хотя бы потому, что любая аксиоматическая система не может быть полной, непротиворечивой и разрешимой

Неожиданно способ доказательства отличается от доказательства Савватеева. Он использовал факт про то что произведение двух чисел не делится на простое, если каждое из этих двух чисел не делится на это простое. А вы основывались на том что "маленькие" натуральные числа ну уж точно раскладываются единственным образом, и точно раскладываются единственным способом, если они меньше самого маленького из тех, которые "раскладываются" двумя способами.

easy. Похоже на метод мат индукции

Почему можно использовать тот факт, что если n представимо в произведении q1*..* q(e) и p1*..*p(k), то оно делится на какое-то p(i)?

в 6 классе я думаю доказательство в такой форме поймут единицы

Мне кажется, что лучше доказывать по индукции так как у вас в доказательстве скрытая индукция в словах возьмем первое наименьшее которое можно разложить двумя способами. Индукция лучше тем что соответствует способу построения множества натуральных чисел.

👍❤️🤝 *_А мораль сей басни какова? Ещё раз подтверждается, что без законов высшей математики, физики, химии ... человек может прожить запросто! А вот без простейших законов человечесуого бытия (общежития) всякий человек прожить не сможет. Вот к примеру: один другому, просто, на ногу наступил... И если у них не сработает закон прощения, то человечество вымрет._*

Оцените как я попытался доказать: ОТА - основная теорема арифметики. Нужно доказать, что N, являясь составным, не будет противоречить ОТА. Есть ряд чисел до N, которые были бы либо простыми либо составными. предварительный пункт - пункт 0) все числа от 2 до N-1 правильно соотносятся с формулировкой ОТА, т.е. любое из них является произведением простых чисел или простым числом. Пункт 1) Если это число N является простым, то оно не делится ни на что кроме себя и 1, но! если оно составное, то оно делится на нечто в диапазоне от N-1 до 2. Пункт 2) Оно составное. Значит делится на одно из чисел своего диапазона делимости, где каждое число (как мы знаем) является произведением простых чисел / простым числом. И если оно делится на одно из таких чисел (которые не противоречат ОТА, соотносятся с ним), то оно является произведением результата деления числа N на одно из его делителей. Но так как всякие произведения между простыми числами являются непротиворечивыми по отношению к ОТА, то всякое число N также будет таким, что его можно разложить на простые множители. То есть если N = E*F, где E и F являются произведениями простых чисел, так как входят в диапазон всех чисел до N, то N - результат умножения произведений простых чисел. Редуцируя, это звучит как: то есть N - результат умножения простых чисел. Пример: число 10 является составным, и допустим мы не знаем, является ли оно раскладываемым на произведение простых чисел, но точно знаем, что оно составное. Тогда, исходя из того что оно составное, мы можем поделить его на некоторое число Х (и получить Z), но так как всякое Х (и получаемое Z), как мы знаем из пункта 0, является произведением простых чисел или простым числом, и это N можно представить как N / X = Z, то Z и Х являются составными числами представляемыми произведениями простых, ибо входят в тот коридор чисел, который, как знаем из пункта 0, является произведением простых чисел / простым числом. Тогда деля N на X и получая Z, мы уже знаем, что получили произведение простых чисел / простое число, то же самое с Z, если поделить N на Z, то получим X, которое, как мы знаем, является произведением простых / простым.

Это метод... от противной индукции?

Подумал, что я тупой, когда отжал паузу.. Типо, если простое число делится исключительно на само себя и на единицу, а натуральное можно поделить на другое, отличное от него самого и единицы, то делителем натурального может быть только такое же натуральное или же простое число, а этот делитель, если он натуральный в свою очередь так же делится на натуральное или простое, это может быть так до того момента пока он не поделится на простое, а все полученные делимые этой цепочки натуральных чисел так же являются натуральными или простыми ну и тд по алгоритму в итоге то все равно все делители и делимые окажутся простыми

Сначала несколько юмористическое замечание (а юмористическое ли...): - с 1969-го года в школьной программе изучение "Арифметики" было заменено на изучение "Математики", интересно где автор, поднабрался того, что не изучал? Или: - не трудно видеть, что всякий изучавший курс "Анатомии" в школе может работать проктологом или окулистом, следовательно: к любому проктологу можно идти с проблемами зрения. Вспомнилось и школьное, когда учительница не могла довести решение до конца, она предлагала дорешать дома (такие закидоны резко снижали мою посещаемость урока математики или ... я так оправдывался). Собственно, из чего очевидно, что d - простое? А-А, " я художник, я так вижу...", иногда автор говорит "доказали", хотя на самом деле "предположили". Ps. Поражает параллелизм, в четверг, возвращаясь с музыки, с внуком первоклассником в автобусе, как раз и проверяли числа на делимость (в задаче надо было закрасить участки рисунка, если цифры на этом участке рисунка делились на 6-ть, когда ехали на музыку проверяли делимость на 8-мь). Лично к данному автору отношусь с превеликим уважением, но здесь он показался мне "невкусным".

А нельзя ли докозать делимость для чисел 5, 7, 11, 13; на 3 тем что из алгоритма "Решето Эратосфена" следует, что все простые числа, например 3, не делятся на три, кроме 3.

самое простое доказательство вытекает из определение что такое число... или в математике не прописано аксиом? о том что является числом?

Это написанное не делится не только на 3, оно и на 2 не делится и на 4 не делится.

Я учился давно, и наверное потому не понял самой теоремы. Если второй множитель не может быть единицей, то откуда берется изначальное утверждение, что - Все натуральные числа представить в виде произведения простых? Покажите наглядно, как это работает. - Вот вам число 5 (или 7) представьте его в виде произведения двух простых чисел (кроме единицы). Просто если бы в начале ЭТО было продемонстрировано, то было бы проще понять дальнейшие объяснения.

не очень понятно с момента "простое-составное", если у нас не получилось его представить в виде произведения, и тут же мы записываем n=a*b, как бы это указывает что все же получилось ?, другое дело если бы мы сказали , у нас не получилось и мы представим n=a*sqrt(2). Что дает нам право утверждать одновременно, что мы нашли такое неправильное число и то что мы можем его представить произведением? выходит одна часть отрицает другую... ? выходит что мы доказываем это утверждение с помощью того что и пытаемся доказать, это та же ошибка школьников ?

Не перевариваю этого типа! Ботало - оно и есть ботало - колокольчик у коровы на шее.

Когда коту делать нечего, он раскладывает числа!

А почему n делится на p и на q? 12:22

Нужно доказать факт, что если ab делится на p, то либо a, либо b делятся на p (могут и оба, но точно невозможно, чтобы ни одно из них не делилось на p). Можно ли это доказать без доказывания собственно основной теоремы арифметики - я не знаю. Но из этого факта основная теорема арифметики следует практически очевидным образом.

Доказательство понял, с 5 раза, ох тупею, ох тупею.