Эта задача имеет интересные физические реализации. Если рассмотреть датчик счётчика Гейгера, который представляет собой трубку, заполненную разреженным газом, в которой пролёт частицы фиксируется по акту ионизации газа частицей (а появление иона регистрируется уже по импульсу тока: первичный ион в высоком напряжении->лавинный микроразряд вторичной ионизации->заметный импульс тока). Понятно, что вероятность того, что пролетающая частица "зацепила" молекулу газа, среди всего прочего оказывается пропорциональной длине пути частицы в трубке. Или, несколько упрощая: ионизация происходит, если длина траектории больше некоторой критической для этого датчика длины. Таким образом приходим к вопросу, какова вероятность того, что длина траектории больше некоторой величины. Если рассматривать плоский вариант задачи и потребовать, чтобы критическая длина была равна длине стороны вписанного в сечение датчика правильного треугольника, получаем в точности задачу Бертрана: есть частицы. "случайно" пролетающие сквозь датчик, и нужно узнать, какая их часть будет зарегистрирована. (Счётчик Гейгера работает чуть-чуть наоборот: знаем, сколько зарегистрировано - и по ним определяем, сколько было всего.) То была преамбула, а теперь будет амбула. Если радиоктивное вещество намазть на поверхность трубки (даже не обязательно равномерно!), то "случайность" траектории будет определяться углом вылета частицы с поверхности, и все направления равноправны. - Это первый случай, разобранный в ролике и дающий вероятность 1/3. Если радиоктивное вещество равномерно заполняет внутренность трубки (напр., пропускаем радиоактиный газ) - то это случай с бросанием случайной точки на круг, и он даёт вероятность 1/4. Если же имеем внешний поток частиц от удалённого источника (т.е. параллельный), то всё определится "прицельным расстоянием" - как далеко от центра трубки пролетит частица. (Сюда же попадает и суперпозиция параллельных потоков разного направления - напр., радиоктивное вещество размазано по стенам большой комнаты). Этой ситуации соотетствует третий случай - с его вероятностью 1/2. Так что все три решения оказываются правильными - нужно только понимать, чтО они моделируют. Dixi

Чтобы оценить соотношение благоприятных вариантов к общему количеству вариантов сначала нужно определить зависимости. Так по определению хорда - это отрезок соединяющий две точки , лежащие на окружности. Чтобы построить все возможные хорды данной окружности, зафиксируем первую точку в произвольной точке О окружности и будем второй двигаться по окружности против часовой стрелки. Таким образом, за один полный оборот получили множество хорд из одной точки, зависящих от длины окружности L. Далее сместим первую точку хорды на малое расстояние dx против часовой стрелки по дуге окружности и снова будем проходить второй точкой по окружности против часовой стрелки от первой точки хорды, пока не дойдём до изначально выбранной точки О. Будем продолжать этот цикл, пока не придём первой точкой обратно в точку О. Таким образом мы построим все возможные хорды. Определим зависимость длины дуги (обозначим как y), которую пробегает вторая точка от расстояния по дуге (обозначим как x) от точки О до первой точки хорды. Получаем следующие корни (x; y): (0; L), (L/4; L*3/4), (L/2, L/2), (L*3/4; L/4), (L, 0). Если построить график, то очевидно, что это график функции y=-x+L, при x от 0 до L. А количество всех возможных хорд будет зависеть от интеграла этой функции в пределах от 0 до L. В результате получаем (1/2)*L^2. Теперь оценим таким же образом зависимость благоприятных вариантов, т. е. когда длина хорды будет больше длины стороны вписанного правильного треугольника. Выберем начальную точку О в одной из вершин вписанного треугольника. Как было показано в видео, длина хорды будет больше длины стороны треугольника, если вторая точка хорды будет пробегать 1/3 длины окружности. Если смещать первую точку по окружности по тому же алгоритму, как тогда когда считали все возможные хорды, благоприятные хорды будут соответствовать 1/3 длины окружности до тех пор, пока первая точка не пройдёт расстояние 1/3 длины окружности. Для первых точек хорды, лежащих на участке от (1/3)*L до (2/3)*L длина благоприятной дуги будет равномерно сокращаться от (1/3)*L до 0. Далее, на участке от (2/3)*L до L благоприятных хорд не будет, так как все их вторые точки попадают за начальную точку O, а значит дублируют уже учтённые нами. Таким образом функция благоприятных вариантов будет состоять двух кусков. Для x от 0 до (1/3)*L: y = L/3, и на участке для x от (1/3)*L до (2/3)*L: y = -x + (2/3)*L. Количество благоприятных вариантов будет соответствовать интегралу этой функции в пределах от 0 до (2/3)*L. В результате получим (1/6)*L^2. Вычисляем вероятность как отношение оцененных множеств: ((1/6)*L^2)/((1/2)*L^2) = 1/3 или 33,(3)%. В решениях, описанных в видео, считаю допущены существенные ошибки. Объясняю почему. В первом решении ошибочно решено, что количество всех возможных хорд прямо пропорционально длине окружности. На самом деле получается пропорционально квадрату длины окружности, хотя мой ответ и совпал с этим решением. Во втором решении ошибка состоит в том,что не учтено, что не каждой точке окружности соответствует единственная хорда, для которой эта точка будет серединой. Для центра окружности это не так. Там вообще можно бесконечно много хорд (т. е. диаметров) провести, для которых эта точка будет серединой. В третьем решении тоже ошибка в центральной точке окружности. Через эту точку два раза учитываются одни и те же хорды при повороте радиуса на 180 градусов (у них меняются только условные первая и вторая точки, а по сути это одна и та же хорда).

Я думаю, что если речь идет о случайном выборе хорд, значит нельзя привязываться ни к вершинам вписанного правильного треугольника (1-й случай), ни к неким радиусам (3-й случай), ни к чему-либо еще. То есть надо исходить из того, что можно проводить эти хорды в буквальном смысле случайным образом и в любом месте. И тогда, если представить, что проведены все (или практически все) возможные хорды внутри окружности, то длиннее сторон треугольника окажутся хорды, пересекающие внутреннюю окружность. То есть надо сравнивать площади большого и малого круга (2-й случай).

У меня ещё на этапе формулировки возник вопрос, что значит случайно-выбранная хорда, но я решил, что нужно закрепить один конец, а второй - случайно располагать на окружности. Т.е. мой вариант - был бы первый. Но думаю, что правильней было бы понимать случайную хорду как случайную прямую, пересекающую окружность, а случайную прямую, как прямую через две случайные точки.

Я считал что хорда определяется двумя точками на окружности, а каждую точку на окружности можно определить углом от 0 до 2*pi. С помощью теоремы косинусов подсчитал функцию длины хорды от двух углов. После преобразований получил неравенство cos(x-y) < -1/2 , где x и y это случайные углы от 0 до 2*pi. И если подсчитать площадь области на координатной плоскости, удовлетворяющей неравенству, и разделить на площадь квадрата со стороной 2*pi, то получится 1/3. Поэтому думаю что самый правильный способ первый, так как в нем получается такой же ответ.

Спасибо за ролик. Получается это и не парадокс вовсе. Зы звук в видео тихий, даже на полной громкости тихо.

Если исходить из определения хорды в начале ролика (хорда это отрезок соединяющий две точки на окружности), то случайная хорда это две случайные точки на окружности, тогда вариантов выбрать 1ю точку 2ПR , и 2ю 2ПR, вариантов выбрать случайную хорду 4(П^2)(R^2) , ну, а успешные те где длина хорды короче стороны треугольника, по идее это первый вариант как раз. Если же условие задачи бы звучало как, какова вероятность провести прямую через окружность, так что бы хорда образованная точками пересечения окружности и прямой была бы длиннее стороны треугольника - то 3й вариант. Аналогично со 2м вариантом.

Поздравляю с рекомендациями в ленте ютуба! Годная подача, лайк подписка.

Как по мне - наиболее правильный ответ 1/3. Хорда - отрезок, который соединяет две точки на окружности, поэтому кажется, что нормальное распределение нужно брать исходя из расположения двух точек на окружности, а не центров хорд. То есть у нас два выбора, которые влияют на результат, а не один. Для решения я бы взял вписанный N-угольник, и использовал бы его вершины для выбора точек хорд, устремив N в бесконечность. Для простоты будем брать 3*N-угольник, для больших значений N отклонения для 3N+1 и 3N+2 несущественны. Для каждой его точки под условие попадают только N/(3N-1) хорд. Устремив N в бесконечность, получаем 1/3. Таким образом, для любой точки на окружности вероятность получить нужную хорду - 1/3. А значит, вероятность получить нужную хорду: 1 * 1/3 = 1/3

Очень полезный контент Автору благодарность за старания

Когда-то видел про эту же задачу на Numberfile, но вот что подумал сейчас. По факту нам не важно под каким углом будет идти хорда, ведь под каждым из углов будет один и тот же набор хорд длинее и короче стороны треугольника. Так что варианты, где изменяется её угол, можно откинуть. Допустим, выбрали только строго горизонтальные хорды. Тогда опять есть два варианта. Либо мы их распределяем с равномерным расстоянием друг от друга, либо ставим точки на окружности через определённый угол. Но тогда во втором случае получится, что коротких хорд станет больше. Это похоже на тот вариант, где ответом была 1/3. Так что делаем их с равным шагом друг от друга, а не по окружности. Должна получиться 1/2

Отлично. Видео крутое. Спасибо за разбор вопроса, уже запамятовал про эту штуку

Спасибо, офигенный видос! Расскажи об интегральной геометрии.

Вижу канал впервые, автор однозначно молодец. Дисклеймер, я в геометрии не сильна, поэтому где-то могу ошибится. Мои размышления: попытайся упростить: если длина случайной хорды колеблится от 0 до 2, какова вероятность, что длина больше корня из 3? Логично, что (2-sqrt(3))/2,не так ли? Что-то около 13%. А считать отношения площадей неправильно, т.к. чем больше "площадь благоприятных исходов" по отношению ко всей площади, тем больше найдётся таких точек, которые лежат на одной прямой, но каждая их пара даст одну и ту же длину хорды, если хорда проходит через эти точки. Эти самые точки сильно искажают картину, в сторону увеличения.

Есть еще один аргумент в пользу первого решения. По условиям задачи речь идет о хорде. По определению хорда - это отрезок ПРЯМОЙ линии с концами НА ОКРУЖНОСТИ. 1. Следовательно, и работать нужно напрямую с точками на окружности. Что делается только в 1-м решении. 2. Прямая однозначно определяется 2-мя точками. Во втором и 3-м решениях используются 3 точки. Сначала произвольная точка внутри круга, а затем накладывается условие, определяющее еще 2 точки на окружности. Получается решение с наложением избыточного требования для прямой, определяются 3 ее точки. Тем самым искажают вероятность, заданную в условиях задачи.

У Вас одно из самых правильно построенных объяснений. Во-1х, объясняющий всегда ответственный за правильность своего объяснения, а не слушающий (принцип западных стран). Во-2х, "правило 3 примеров" -- понимание должно быть доступно людям с разным типом мышление, для этого нужно проводить разные примеры, к тому же так лучше работает наша память. В-3х, везде где только возможно, Вы ставите не просто буквенное обозначение, именно словесное описание (например в дробях), тем самым не переключается внимание, что очень полезно людям с СДВ(Г), коих очень много есть и было среди многих людей (даже известных учёных). Спасибо большое!

Выбор хорды надо делать по её определению. Хорда в планиметрии - отрезок прямой линии, соединяющей две точки окружности. Т.е. из определения хорды и следует способ построения. Случайно берем 2 точки на окружности и меряем длину отрезка.В таком случае имеем ответ №1, или 1/3. Если бы определение хорды было таким: хорда для окружности и точки в средине этой окружности - это отрезок прямой линии, центром которого является данная точка, а концы лежат на данной окружности. Тогда ответ 2. То же самое с вариантом 3. Определение хорды привязано к перпендикулярности радиуса, чего изначально нет. Кароч, тут уже написали, что три ответа моделируют три разные ситуации. Так что, имеем не парадокс, а софизм, замаскированный под парадокс.

Тут получается можно перефразировать условие в вероятность случайно получить угол по строго больший 120 и меньший 240. В диапазоне, естественно, от нуля до 360,наверно включая края диапазона. Тогда благоприятные исходы это 1-(2/360) -(вероятность получить от 0 включая до 120 исключая)- (вероятность получить от 240 исключая до 360 включая) . Что приблизительно равно 1/3

По моему, задача сформулирована исключительно точно и полно. Трудность вижу в подсчете одинаковых ситуаций ( две разные точки дают два одинаковых варианта хорды ) . А так же то, что точки , расположенные на разном расстоянии от центра - дают разную вероятность хорды ( например точки ближе к центру - будут всегда выдавать бОльшие хорды , а маленьких хорд вообще не выдавать , а точки , расположенные на переферии - будут уже иметь ( бОльшую ) вероятность маленьких хорд.

Виталий, как заметили комментаторы в своих комментариях, звук действительно очень тихий. В дальнейшем контролируй уровень громкости. Что же касается ответа на парадокс Бертрана, то на вопрос, какой ответ правильный без ограничения условий на расположение хорды, неоднозначен. Нет и не может быть однозначного ответа. Это хорошо видно на трёх примерах. Когда-то учил в вузе математику, в том числе и Теорию вероятность по учебнику Елены Сергеевны Вентцель, но это было давно. А так, абстрагируясь от парадокса Бертрана, спасибо тебе за публикации и стремление приобщить людей, особенно молодых, к математике. *Моё уважение и лайк* 👍❤

Если перевести задачу на простой язык, то спрашивается, какова вероятность, что случайные 2 точки на окружности образуют дугу в пределах от 1/3 до 1/2 длины окружности? (До 1/2- потому, что это получится максимальная хорда- диаметр. Вычисление простейшее: (1/2-1/3)/(1/2)=1/3.

Пишите ещё. У Вас хорошо получается.

Есть похожая проблема с которой я как то столкнулся, когда нужно было смоделировать случайные точки которые попадают на круг. Все зависело как раз от способа выбора этих случайных координат точек. 1) Если выбирать случайные х и у в описанном квадрате, что первое и пришло в голову и просто отсекать точки не попавшие в круг. Если точка не попадала в круг мы просто выбираем следующую и так пока не попадем. На самом деле вероятность что несколько точек подряд не попадут в круг спустя 3-4 попытки довольно низкая. И обычно пары попыток пересчета хватает. Но выглядит немного костыльно). 2) Позже мне подсказали перейти к полярным координатам. И уже выбор точки был r-радиус ( от 0 до 1) и а-угол ( от 0 до 2pi). Ну и координаты соответственно были х=r*cos(a) и у=r*sin(a). Но вот незадача, при достаточно большой выборке точки в центре были плотнее. Что тоже не очень. 3) Если данный алгоритм модифицировать для более равномерного распределения, то вместо r нужно выбрать квадратный корень из числа. И вот есть уже 3 метод. который более не менее удовлетворяет. 4) Есть еще один способ который я не применял, но он есть. Это выбирать на круге сектор, с довольно маленьким углом, который в приближении можно принять за треугольник и потом выбирать случайную точку уже в нем. Повторюсь, в данном видео эта проблема тоже присутствует - это неоднозначность выбора случайных величин, которые приводят к разным результатам. Рассмотрим например 3 вариант из видео: мы выбираем точку на радиусе, как в моем 2 варианте по сути. Если мы выбрали точку, то мы как бы выбрали целое кольцо и если мы нарисуем несколько колец разных радиусов с одинаковым количеством точек на них, то наглядно будет видно, что в кольцах малого радиуса точки плотнее чем на кольцах с бОльшим радиусом. И как следствие распределение этих точек тоже будет не совсем равномерным. А значит и сама вероятность будет не совсем правильной. Т.к. в условии задачи про способ выбора точек не слова, то получается что задача не совсем корректна или неполна.

Выпал ролик в рекомендации, посмотрел, очень понравилось. Почитал комментарии, подписался. Отличное комьюнити собралось. Пойду смотреть другие на канале!

Хорда - отрезок соединяющий две точки кривой, значит выбрать случайную хорду это выбрать две точки по окружности, что сводится к первому варианту решения. Остальные два способа это случайный выбор чего-то другого, а хорда уже относительно этого строится, а не случайно выбирается, поэтому условию задачи они не соответствуют.

Хороший канал. Подписка! Интересно рассказывает! Таких "популярных" рассказов о математике сейчас не хватает в русском ютубе

Интуитивное решение: проведём радиус перпендикулярно стороне этого треугольника. В силу симметрии окружности, достаточно рассмотреть все хорды, перпендикулярные этому радиусу (и пересекающие его). Т.к. сторона треугольника делит этот радиус пополам, то половина этих хорд будет лежать за пределами треугольника, и все они будут короче его стороны, а другая половина хорд будет пересекать этот треугольник и иметь длины больше длины стороны треугольника. Поэтому искомая вероятность равна 1/2.

я бы считал отталкиваясь от определения хорды, надо две случайные точки на окружности, но тогда не совсем ясно что делать с симетрией, считать ли повороты и отражения в капилку положительных исходов. ) можно начать с дискретности, разбви круг на 360 точек и далее уйти в итрегральное исчесление и бесконечно малые. и там уже сравнивать лимиты

Можно свести условие к следующему: какова вероятность того, что хорда опирается на вписанный в окружность угол, градусная мера которого от 60⁰ до 120⁰ (по теореме синусов). тогда выполняется инвариантность тк не создаётся никакого иного условия, ответ 1/3

4:00 я решил похожим образом: Сторона треугольника отделяет дугу 120°, хорда максимум 180°(если диаметр), 180°-120°=60° это диапазон подходящих хорд, 60°/180°=⅓ это подходящие на общие

Я думаю нужно исходить из понятия хорды- это линия пересекающая окружность в 2 точках. Следовательно нужно исходить от вероятностей координат точек, и не придумывать способ проведения хорды (этого нет в условии задачи). Первая точка может быть где угодно и не важна ее координата. А координата 2 точки влияет на вероятность, и если она находится в секторе 1/3 дуги напротив 1 точки, то длина хорды больше корня из 3. Так что 1 ответ верный, остальные не соответствуют условию задачи.

я так вижу 1 Все прямые в принципе одинаковые 2 Все круги одного радиуса (скажем радиуса Один ) равноценные. Выберем конкретную прямую и рассмотрим все круги с которой она пересекается. Радиус задан как 1. Остается выбрать центр круга - НО ТАК ЧТОБЫ КРУГ ПЕРЕСЕКАЛСЯ С ЭТОЙ ПРЯМОЙ . Для этого достаточно чтобы расстояние между прямой и центром было Один или меньше одного. Из этих выбранных центров - ПОЛОВИНА будет на расстоянии Д от прямой , таком , что выполняется 0.5 < Д < 1. именно тогда хорда будет длиннее поставленного условия . То есть вероятность хорды быть длиннее условия - ровно половина от всего. Ответ номер 3 в видео верный .

"Равномерно" можно выбрать только из какого-то заранее определенного множества. Причем равномерность на одном множестве не обязательно дает такую же равномерность на другом. И во всех трех способах мы брали разные множества для выбора. И как вариант - первый способ, но вместо второй точки на окружности мы "равномерно" выбираем угол отклонения.

Эта задача аналогична задаче суммы членов бесконечного ряда. Есть доказательство что выбором способа подсчёта можно получить в ответ любой результат! (Так сказать свойство бесконечности) В парадокс Бертрана не задан критерий случайности задания хорд (принцип их формирования) другими словами такие независимые параметры как, например начало или середина или вообще любая произвольная точка хорды и ее направление. По сути если считать эти оба параметра случайными в своих областях значений то и задача сводится к опредлению функции вероятности от двух независимых событий и тут мы .... 🤔 возвращаемся к началу рассуждений ☝️ 😂

А у меня такой вариант решения. Решаем в 2 этапа: 1. На радиус бросаем точку с равномерным распределением - это будет центр хорды. 2. Выбираем случайно угол пересечения хорды и радиуса от 0° до 90° с дискретностью в 1°

Зачем выбирать способ построения хорд? Они все расположены СЛУЧАЙНО; те, что удовлетворяют неравенству l > a обязательно пересекают ПЛОЩАДЬ вписанного круга. Отношение площади вписанного к общей площади описанного круга и является искомым ответом: π*r² = π*a²/12; π*R² = π*a²/3; (π*a²/12) / ( π*a²/3) = 1/4. Можно и от противного: какова вероятность что l < a? Тогда все хорды должны лежать исключительно на площади кольца; π*(R² - r²)=π*a²/4; (π*a²/4)/(π*a²/3) =3/4.😛

Уважаемый автор расскажите пожалуйста о таблицах Уарза!❤

Пока посмотрел только задани у меня получился ответ 1/3. Я так сделал. С любой точки хорда может направится в любом направлении от 0 до 180 градусов. И только та что от 60 до 120 будет длиннее.

Спасибо, было интересно! )) Я совсем не математик, но, думаю, что нужно сложить все имеющиеся варианты. Если кем-то заданы, какие-либо условия проведения хорды, то это уже накладывает ограничения на выбор её положения, а значит этот вариант никак нельзя отнести к максимально вероятным. Именно эти ограничения и создают различия в результатах. Если в условии не сказано ни о каких ограничениях, значит мы имеем право считать за правильные максимальное количество всех возможных вариантов. Следовательно, только сложив все три варианта (или больше, если когда-нибудь будут предложены другие) мы получим максимально возможное количество вероятностей. Случайность, ведь искусственно ничем не ограничена

Можно провести простой эксперимент. Разделить окружность на очень большое количество частей (скажем, не меньше сотни). Случайная хорда определяется на мой взгляд случайным положением ОБОИХ ее концов. Соответственно нужно сделать ДВА комплекта бумажек с номерами от 1 до 100 (по количеству предполагаемых участков окружности). Затем смешать оба эти комплекта и слепым способом вытаскивать попарно эти бумажки и строить по этим номерам хорды. Если проделать такую процедуру раз двадцать-тридцать, то можно будет более-менее точно просто на основании статистики далать выводы о предполагаемой вероятности

Правильный ответ 1/3 Что касается примера построения хорды по радиусу (5:40), то тут допущен интересный просчет. Если внимательно присмотреться, то выяснится, что при таком построении, когда больших и мелких хорд одинаковое количество, мелкие никогда не покроют свою часть дуги. Т.е. получим не полный набор событий (не будут учтены все возможные хорды), и соответственно не верный итоговый результат. Для получения полного набора событий придется вернуться к корректному покрытию дуги (через интеграл или другим способом), что даст тот же результат = 1/3. С третьим примером тоже самое. Резюме - нет никакого парадокса, есть ошибка при подсчете полного набора событий во втором и третьем случае.

В самой задаче идёт речь об окружности а не о круге. Хорда тоже определяется от окружности. И длина стороны треугольника тоже определяется от окружности. Второе и третье решение используют круг, то есть произвольно расширяют исходную задачу.

Могу предложить ещё одно решение этой задачи. Предположим, что у нас круг радиуса 1, и что в него вписан единственный треугольник. Сторона которого будет тогда корень из трёх. Так как хорд в любом случае бесконечное количество, то можно все же попробовать оценить площади, занимаемые хордами, которые больше стороны треугольника, и которые меньше этой же стороны. Площадь всего круга равна пи эр квадрат, в нашем случае примерно 3,14. Площадь треугольника равна корень из трёх умножить на полтора и разделить на 2, примерно 1,3. Площадь оставшейся части круга равна 3,14-1,3=1,84. Площадь трети от этой площади равна примерно 0,61. Возьмём любую вершину треугольника и начнём проводить из неё хорды. Хорды меньшего размера займут две трети свободной от треугольника части круга, то есть, 2/3*1,84=1,22 Хорды большего размера займут остальную площадь, то есть 1,92. Повторим операцию с двумя другими оставшимися вершинами треугольника. Все площади, соответственно, утроятся. Итого площадь, занимаемая всеми маленькими хордами будет равна 3,66, а всеми большими будет равна 5,76. То, что эти площади больше площади круга, нас не должно беспокоить. Так как нам важно только их соотношение друг с другом. А вместе они составляют 100 процентов. Получается, что площадь, занятая большими хордами, составляет примерно 61 процент от всей площади. Соответственно, площадь, занятая маленькими хордами составляет 39 процентов. Соответственно, вероятность, что произвольная хорда будет большой или маленькой, тоже будет составлять эти же проценты. И это верно для любого единственного треугольника, вписанного в этот круг. А если у нас какая-то хорда оказалась исходящей не из вершины этого треугольника, то мы тогда рассматриваем её, как исходящую из вершины другого такого же треугольника, коих бесконечное множество. Но относительно любого другого треугольника соотношение площадей, занимаемых большими и маленькими хордами, будет таким же.

Считаю первое более точно описывающее случайность. Там выбирается случайная точка и от нее случайный луч. Во втором и третьем точка выбирается случайно, но дальше накладываются неслучайные условия для проведения хорды, которые нужно вычислять. Эта неслучайность расчета доп. условия и влияет на вероятность.

Пусть переменная X равномерно распределенна на отрезке от 0 до 1. Пусть теперь мы геометрически делаем отображение отрезка в другой через функцию Y=function(X). При этом Y тоже будет распределен от 0 до 1. Если теперь относительно X мы точно знаем все ее вероятностные характеристики, то вот аналогичные характеристики Y будут впрямую зависеть от вида функции function(). Для любого математика и даже обывателя это не кажется удивительным, а наоборот логичным. Но тогда, если это логично, то почему же в случае Бертрановского примера это будет парадокс??))) В чем по большому счету Бертрановский "парадокс" отличается от примера который я привел? Да по сути ничем, разве что в моем случае все происходит на линии, а пример Бертрана на плоскости. Иными словами, когда мы в моем примере делаем какие то предположения относительно X мы берем в расчет заявленное ее свойство равномерности распределения от 0 до 1. Но когда мы переводим X в Y - последняя уже не имеет этого же равномерного распределения и чтобы что то утверждать относительно Y нам необходимо разобраться с функцией перевода X в Y. Вот также и у Бертрановской задачи. Во всех 3х решениях под равномерно распределенной величиной мы полагали некоторую (назовем ее как X - во всех 3х примерах она разная но это не важно, главное что эта X равномерно распределенная величина в некоторой системе координат), а потом искали вероятностные характеристики совершенно другой величины Y в другой системе координат. В каждом из 3х примеров Бертрана величину Y и Х связывает некоторая своя функция. Естественно что раз функции разные, то и характеристики Y будут разные. Короче. Не увидел в этом парадоксе собственно самого парадокса... )) Но лишь самую что ни на есть обыкновенность...

Мне нравится способ с вероятностью 1/3, ведь он определенно точно учитывает все многообразие хорд. А два других перегружены доп условиями типа точка делит хорду пополам.

Очень заинтересовала задача, но я люблю поверять все так сказать на практике. По этому в екселе я запустил генератор случайных чисел (3 числа, первые 2 - координаты в диапазоне от -10 до 10, а третье - наклон прямой относительно оси ОХ от 0° до 180°) так я получил случайное распределение прямых в квадрате 20×20, в центре круг единичного радиуса, дальше проверяем какая часть получившихся прямых пересекает наш круг (то-есть являются хордами), и высчитываем какова их длинна и соответственно процент тех что больше чем корень из 3х. ИТОГО на массиве из 100 000 прямых у меня получилось что стабильно 11% прямых пересекают круг, из которых 50% (+- 0,9%) длиннее корня из 3х, значит выходит, что 3е решение правильное.

Правильно #4: Случайно, от 0 до 2х, выбираем размер хорды. Ответ: 1 - 3½/2

3 вариант, он соответствует безразличным случайным способом расположенных в двухмерном пространстве прямой и кругу с отсевом тех их пар, что не пересекаются.

Если исходить из предположения, что равновероятность предполагает равную условную "плотность" хорд то верным будет третий вариант, т.к. остальные варианты предполагают наложение хорд друг на друга, т.е. если представить хорду как пусть и бесконечно тонкую, но вещественную, нить, то только в 3-м варианте они будут покрывать окружность ровным слоем, т.е. с равной вероятностью.

В самом начале, когда идёт иллюстрация вероятностей с помощью монетки и кубика, пропущено существенное уточнение: события должны быть РАВНОВЕРОЯТНЫ. Теперь вопрос: какие варианты выбора хорд можно считать равновероятными? Например, в первом случае вероятность выбрать хорду малой длины существенно меньше вероятности выбрать хорду средней длины (точек, расположенных близко к первой фиксированной точке, существенно меньше точек, расположенных на "средней" дистанции). Т.е. здесь равновероятность выбора точки на длине окружности приводит к разной вероятности выбора длин хорд - график плотности вероятности от длины хорды будет колоколообразным. В третьем случае равновероятными считаются события выбора точки на радиусе. При этом, вероятность выбора разных длин хорд здесь существенно более ровная (влияет только кривизна окружности).

Самое точное будет брать 2 случайные точки на окружности, а потом из множества исключить нулевые хорды (когда точки совпали) и повторные хорды из-за перемены точек местами. Но если считать, что уникальность хорды зависит и от направления проведения, то повторы - не исключать.

Парадокса в постановке Бертрана нет. У него неверны 2 и 3 метод, в которых отсутствуют хорды без точки, делящей хорду на половинки. Это парадокс бесконечного отеля - если новый гость принадлежит к множеству натуральных чисел, то он уже заселён в отеле, а так как по условию он не принадлежит к этому множеству, то и места для него нет. Парадокс Бертрана некорректно сформулирован. Этот сломан, несите другой.

Согласно известной теореме, через любую точку круга можно провести ровно одну хорду, центром которой эта точка является. Таким образом, можно считать, что любая точка круга идентифицирует ровно одну хорду из всего множества хорд, а все точки круга - полное множество хорд. Далее из простой геометрии следует, что иметь длину больше стороны вписанного треугольника могут только те хорды, центр которых лежит внутри вписанной в треугольник окружности. Радиус этой окружности - 1/2*R, отношение ограниченной ей площади к площади всего круга - (1/2)**2 = 1/4. Решение не выглядит сложным))

В данном случае, задача сводится к способу выбрать две точки на окружности, такие что хорда между ними будет больше заданной длины; и сравнить количество случаев удовлетворяющих условию к общему количеству случаев выбрать две точки на окружности данным конкретным способом. Вот только способов выбрать две точки на окружности не один, не два и даже не три. Например, можно поместить нашу окружность в окружность вдвое большего радиуса так, чтобы они касались общей точкой. Провести хорду из точки касания в произвольную точку большей окружности. Если часть этой хорды окажется хородой меньшей окружности удовлетворяющей условию, значит данная точка нам подходит. Соотношение длины дуги большой окружности дающую все такие хорды к длине дуг, дающих хорды просто пересекающие мелкую окружность и будет ещё одним ответом. Только важно учитывать только те варианты, которые дают хоть какую-нибудь хорду на мелкой окружности. А если взять другой радиус большей окружности или выбрать другое положение точки касания, то и ответ, скорее всего, будет другим. Есть ещё вариант: Можно вписать нашу окружность в равносторонний треугольник. Тогда часть прямой из одной его вершины в произвольную точку противоположной стороны определит хорду в нашей окружении. Тогда линии соединяющие все точки этой страны с указанной вершиной ометают всю площадь треугольника, а заодно и всю площадь вписанной в него окружности, а значит дают и все возможные длины ее хорд. Вот и сравните отрезки стороны треугольника дающие нужные хорды с полной длинной его стороны. Ещё, как вариант, можно провести линию, соединяющую две стороны нашего описанного треугольника параллельную третьей стороне. Тогда все такие линии будут ометать полную площадь треугольника, а значит и вписанной в него окружность; а конкретную такую линию можно задать точкой ее пересечения с высотой или боковой стороной. Я убежден, что способов выбрать две точки на окружности - бесконечное множество. Думаю, у меня не получится привести здесь строгое доказательство данного утверждения, однако, я могу привести вот такой пример: Впишем нашу окружность в квадрат. Проведём в квадрате линию параллельную одной из его сторон, соединяющую две другие. А теперь, между сторонами квадрата которые параллельны нашей вспомогательной линии, от произвольных точек этих сторон, проведем другую линию, на этот раз криволинейную, произвольной формы. Теперь, скажем что положение нашей вспомогательной линии внутри квадрата определяет точка её пересечения с нашей произвольной кривой. Главное, чтобы каждому положению вспомогательной линии соответствовала лишь одна точка пересечения с кривой. Все положения вспомогательной линии ометают всю площадь квадрата, а также вписанной в него окружности, а значит определяют и все длины ее хорд. А так как наша произвольная кривая может быть почти любой формы, то и соотношение длины удовлетворяющего отрезка кривой с ее общей длинной тоже может быть любым. Что и даёт нам любое соотношение вероятности "выбрать то что нужно" к вероятности "выбрать хоть что-то". Как-то так.

Мой хороший друг сказал: "Математика Царица всех наук!!! И падчерица физики..." После, некоторые, из наших, перестали с ним общаться (но это не точно). Нужно применить физику = поставить эксперимент! Так мы получим приближенный ответ, и на его результатах сможем выбрать верный.

Не понимаю при чем здесь распределение хорд, если мы возьмём все возможные хорды (бесконечность), то они полностью заполнят круг, о каком их распределении тогда может идти речь...

Спасибо большое, как долго я это искала. Помню что-то из института про три разных ответа, про окружность, но названия парадокса не помню.

Получаю случайную хорду следующим образом: беру случайно 2 числа в диапазоне [0;1), умножаю это на 360. Т.е. это два случайных угла на единичной окружности. Потом нахожу координаты x,y через cos и sin для обоих углов. Потом нахожу расстояние между этими двумя точками. Отбираю те расстояния, которые больше корня из 3. В екселе на больших выборках в итоге вероятность 1/3.

У меня получилось вообще √3/π для единичной окружности. Рассуждал так. Начальной хордой берётся одна из сторон треугольника. Далее берутся все хорды идущие к противоположному углу. Они совместно формируют квадрат, где противоположна сторона квадрата сформирована хордой соединяющей вписанного треугольника, но у которого вершина внизу. Левее и правее этого квадрата хорды короче стороны. Диагональ квадрата равна диаметру окружности, то есть 2. Сторона √3 по "дано". Неизвестная сторона квадрата по теореме Пифагора равна 1. Площадь квадрата 1*√3 = √3, площадь круга равна π. Отношение получается √3/π . При этом ни одна хорда не пропускается.

Очень годно! Спасибо за видео!

Ну так все правильно! Случайная хорда либо длиннее стороны треугольника, либо нет. Значит 1/2

Пример с мишенью некорректен. Человек целится не в мишень, а в ее центр. Вероятно распределяеься по Гауссу. Это не равно отношению площадей.

Думаю, случайный выбор хорды должен быть по двум случайным точкам внутри круга. Но как посчитать при этом вероятности - это интересный вопрос. :)

Правильный ответ 1/4 тк случайную хорду в круге можно выразить через одну точку, в ответе 1/2 случайная хорда выражено только половиной таких точек, тк круг двухмерный, а в результате 1/3 если посмотреть на все получившиеся хорды, взятые к примеру через каждый градус, то длинных будет больше , хотя их должно быть равное количество. ну и на последок рисунок с 1/4 похож на клубок, что подразумевает реальное отражение задачи

Никакого осадка не остается, морковку можно потереть на терке или порезать соломкой, зависит от того, что готовишь, салат или плов)

Я вот подумал. Если хорда выбирается случайно, то и случайно выбирается еë длина в пределах (0;2R]. Длина стороны вписанного треугольника √3R. И получается длина хорды должна быть (√3R;2R]. То есть вероятность - это отношение длин двух интервалов: (2-√3)/2=1-√3/2

Если представить хорду как основание равнобедренного треугольника с вершиной в центре и углом γ, тогда для единичной окружности вероятность l>√3 можно записать как 2sin(γ/2)>√3, где γ случайный угол от 0 до π. Решив уравнение 2sin(γ/2)=√3 найдем угол γ=π2/3. То есть 1/3 всех углов будет удовлетворять начальному условию

Да, весь парадокс сводится к определению равномерного распределения хорд. И здесь я согласен с комментарием Alex Black! Что такое хорда? Отрезок, соединяющий 2 точки на окружности. Что такое случайный выбор хорды? Он эквивалентен случайному выбору 2 точек на окружеости. Равномерное распределение хорд эквивалентно независимому равномерному распределению 2 точек на окружности. Из чего следует, что вероятность нахождения одного из концов хорды на выбранной нами дуге равен отношению длины этой дуги к длине окружности. Что приводит нас к решению задачи способом номер 1. Это решение естественно проистекает из определения хорды и построения ее "случайным" образом. Хотя метод Монте Карло даст нам более "равномерную геометрическую плотность" линий на плоскости. Но это уже другая, более "надуманная" история.

Очень тихий звук. Делайте нормализацию.

визуально задача похожа на попытку случайно заполнить круг точками (если делать это графическим алгоритмом по принципу rnd-угол + rnd-радиус - получим скопление точек в центре, если rnd-x + rnd-y в описанном квадрате с нормализацией радиуса - получим скопление в диагоналях) проблема заключается вобщем в том что площадь для нашего метода генерации это декартова размерность, а генерировать случайное число внутри непрямоугольной границы мы не то что бы тривиально можем (для этого вероятность выпадения первой координаты должна распределяться соразмерно циркулярной кривой и только второй может быть линейна но уже в ограниченном диапазоне). Простой способ это генерировать квадрат и отбрасывать неподходящие результаты. Поэтому если стремиться к равномерности заполнения случайными кривыми всей площади. То генерировать нужно не по точкам на окружности а по точкам всего круга. Это можно сделать через выбор случайных в описанном квадрате (исключая вышедшие за пределы) + rnd-угол наклона. Если аналитически то дальше это нужно проинтегрировать. В этом случае проще перейти к системе где угол наклона горизонтально фиксирован, а точка случайна. И собственно хорда длиннее там где она выше нижней границы нашего треугольника, (т.к. только там она длиннее стороны) но ниже соответствующей симметричной относительно круга позиции сверху. Иными словами половина основания на высоту дают 3/2 - высоты треугольника относительно 4/2 диаметра круга. т.е. нехватает 1/2 дважды, т.е. ровоно половины диаметра. Ответ 1/2

Я не силён в математике, однако у меня возникла идея, о совмещение всех этих событий(методов решений) в следующем порядке: в начале мы возьмём все эти три метода и решим его по той же аналогии, отдельно друг от друга(независимо) поле чего совместим методы решения (скомбинируем) для одной ситуации, которая будет задана конкретными рамками. В следствии чего мы сключии неточность основ(условия где хорда однозначно будет длиннее или однозначно короче) и снова перещитаем но уже скомбинированым методом. Два полученных результата следует сравнить между собой, где можно определить разницу двух заданных конкретных событий. Та вероятность которая будет больше (допустим) - хорда будет всегда больше, будет иметь больше шансов (возникнуть) произойти по отношению к случаю где хорда всегда - меньше. Оба результата можно сложить и сравнить их с каждой отдельной методикой подщета, и тем же методом сравнить числовые значения с общим результатом. Данные которые мы получим следует понимать так: ответы которые наиболее стремятся к сумме двух результатов, (общего ответа скомбинированного решения) будет считаться наиболее достоверным в каждом отдельно взятом эксперименте, с каждым отдельно взятым методом вычисления. Мы как бы стараемся привести ответ к заданому эталону. И чем он ближе - тем больше вероятность того что в эксперименте ответ будет иметь доставерный результат по отношению к о всем остальным. Но! При условии что методы не будут меняться и не будут противоречить. Тоесть хорда объязательно будет внутри и случайным образом станет в случае * - больше или *- меньше. В целом дилема будет решена по отношению к ситуации если бы хорда случайным образом выпала таком порядке где была бы равно стороне треугольника. Это так же маловероятно, если бы мы кинули монетку и падая на пол она встала бы на ребро и выдала бы на нулевой результат или неопределённость. И снова, напоминаю, это лишь предположение не утверждение. Кто желает пусть попробует, может что-то из этого выйдет, а может и нет.

Я кажется нашел 4ый способ. Для начала введем область определения: l>a l=

На самом деле проблема даже с первым примером, вероятность попадания в центр мишени - выше, если именно в нее целятся, или нужно точно определить характеристики потока частиц, рассеивающихся на мишени. Пусть на окружность Бертрана, как на мишень, случайным образом падают прямые (в плоскости мишени). Аналогично предыдущему недостаточно определить соотношение площадей. Нужно знать еще и характеристики исходного потока и особенности рассеяния.

Я бы представил окружность как множество из бесконечного количества точек. Тогда для любой точки на окружности существует три точки вершин равностороннего треугольника, делящего эту окружность на 3 равные дуги. Для того, чтобы дуги действительно составляли именно 1/3 всего множества, отнесём к каждой дуге одну из вершин. Тогда, среди вариантов второй точки хорды, которые нас точно не устраивают будут: 1) точка, относящаяся к "подходящей" трети, её шанс выпадения 1/inf 2) точка, являющаяся началом хорды, потому что хорды тогда вообще не случится, но этот вариант мы учитывать не будем, т.к. он не создаёт хорд, а значит не относится к множеству всех возможных хорд 3) в остальных случаях нам не подойдут 2/3 всех точек Т.к. мы перебираем все возможные варианты начала и конца хорды, такой вариант должен покрыть все возможные варианты хорд, и, по-идее, должен быть наиболее правильным. Тогда вероятность нужной нам хорды 1/3 - 1/inf (можно дополнительно уточнить, что в итоговом ответе бесконечность на 1 точку меньше, чем множество всех точек окружности, т.к. нам не интересны пары, где "хорда" начинается и заканчивается в одной точке)

Поясню, надо совместить второй и третий вариант. Не смотря на то, что площадь большого круга больше, в нем нет ни одной точки, которой не соответствовала бы точка во внутреннем. То есть, проведите радиус через любую точку большого круга, во внутреннем кругу тоже найдется своя точка. Пока не введёте ограничения на минимальное изменение координат, чтобы можно было говорить об одной и той же точке или о разных. (Пока не ввели эти ограничения количество точек в обоих кругах будет стремиться к бесконечности, а это значит, что НЕЛЬЗЯ сказать что в малом круге количество точек составляет 1/4)

При такой формулировке у задачи нет решения, так как при построении модели с отношением благоприятных исходов к общему числу исходов, в знаменателе (да и в числителе) получится бесконечность (обосную слова: берём дугу, которую хорда отсекает от окружности и представляем ее как отрезок, а точки хорды А и Б - точки на отрезке. Поскольку на отрезке бесконечное количество точек, значит и хорд бесконечное количество.). Варианты решения правильны, но в случае соответствующего уточнения

если в задаче таки ТОЧНО указывается "сравнение" ДЛИНЫ хорды в круге и ДЛИНЫ стороны правильного треугольника, вписанного в тот же круг, то относительно единичного радиуса задача сводится к нахождению одномерной (где-то даже скалярной ;))))) вероятности p(x) попадания НЕОТРИЦАТЕЛЬНОГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО числа с равнораспределённым случайным выбором его, числа, значения от нуля до двойки в интервал sq(3)

Длина хорды равномерно может принимать значения на отрезке [0;2] Требуемое условия - {длина хорды}>√3 На числовой прямой, согласно условию, хорда лежит на отрезке (√3;2] Тогда вероятность того, что хорда больше стороны, равна p=(2-√3)/2~0.134. Не претендую на правильность, можно обсудить

остановил видео на 3:01 по-моему, всё просто, хорда - это часть прямой, которая пересекает окружность в 2-х точках выбор первой точки на окружности ни на что не влияет если из первой точки постоить вписанный равносторонний треугольник, точки этого треугольника разобьют окружность на 3 равных сектора если вторая точка хорды лежит в 2-х секторах из 3-х возможных, то хорда меньше стороны прямоугольного треугольника, если в 1-м оставшемся из 3-х - то больше

Считаю первое решение верным и парадокс надуманным, так как, в данных формулировках, решения 2 и 3 основываются на ложных утверждениях. Ошибка 2-ого утверждения (с 4:15): Между множеством точек в окружности и множеством хорд нет биекции, так как точке а центре окружности соответствует бесконечное количество хорд, являющихся диаметрами. Ошибка 3 решения (с 5:45): Сторона треугольника не делит произвольный радиус пополам, что особенно очевидно для радиусов, проведенных в окрестность вершин треугольника. Соответственно, вывод о неточной формулировке задачи считаю ошибочным. Но я, конечно, могу ошибаться. Если я не прав, прошу поправить.

Суперзадача! На мой взгляд, более простым представляется 1 решение, но более правильным - 3.

Мне, кажется во втором варианте построения хорды есть некое упущение. Если выбранная точка является центром окружности, то нельзя так просто взять и построить корду с равными отрезками, этих вариаций будет бесконечное множество. Это было бы хорошо заметно на построении множества хорд таким образом, при попадании в центр можно будет каждый раз рисовать новый диаметр, а если строить по первому и третьему способу при задвоении точек не будет нового варианта хорды. Но у первого варианта тоже есть изъян, некоторые из точек могут лежать на одной линии и тем самым не создавать новых хорд, что уменьшает вероятность построения новых хорд. Кажется именно поэтому третий способ является самым грамотным обеспечивает равномерное распределение с наименьшим дублированием (только в случаи точного повторного попадания).

Вопрос действительно о плотности распределения. Как во втором случае получился холмик, с которого скатывались хорды, так же может получиться и ямка в центре, в которую хорды будут сваливаться. Просто надо понять, какой из этих кругов плоский. С какого момента считать, что градиент уже белеет или чернеет в центре. Бесконечности подъехали в чат)) П.С. С треугольниками же смогли договориться, что сумма углов 180 - это евклидова геометрия, а меньше и больше - Лобачевского и сферическая. Так же и сдесь сможем поди. Или будет несколько евклидовых?))

Вероятность или 1/3 или 1/2. 1/4 можно, я думаю отбросить, так как через произвольную точку внутри большого или малого круга нужно проводить хорду одну так, чтобы точка была ее центром. Т.е. через бесконечное количество точек (к слову, бесконечность континуальная) за пределами малого круга мы проводим одну хорду, внутри малого круга мы также через бесконечное множество точек проводим одну хорду. Но есть одна точка внутри малого круга, через которую мы можем провести бесконечное (континуальное) множество хорд по этому правилу - это точка центра. Получается так, что у нас континуальное количество точек с одной хордой за пределами малого круга, континуальное количество точек с одной хордой внутри малого круга и одна точка внутри малого круга с континуальным количеством хорд. По сути с решением 1/4 можно было бы согласится, если бы не эта точка центра. НО, тут еще можно заметить, что мы имеем дело с непрерывным распределением (поэтому и точек континуально много), а значит вероятность попасть в одну какую-то конкретную точку равна нулю. Т.е. в центр мы не попадем никогда, а значит, если проводить хорду по этому правилу, что эта точка будет центром хорды, то да, вероятность будет 1/4. Вот только с таким ограничением на построение хорд я не согласен. И если оградиться от этого ограничения, то, возможно, вероятность будет 1/2. Постараюсь объяснить. Если мы возьмем эти два круга - основной большой и малый вписанный в треугольник наш, то за пределами малого круга через произвольную точку проходит точно как минимум одна хорда (для которой эта точка - середина), которая короче длины стороны треугольника. Но если мы откажемся от построения хорды через эту точку, как середины хорды, то получается что через такую точку можно провести еще несколько таких хорд. Сколько? Если точка не лежит на окружности меньшего круга, то бесконечно много. Для таких хорд будет можно сказать "коридор" значений, когда они еще не пересекают малый круг. А раз есть этот "коридор", и учитывая, что даже маленький "коридор" бесконечен континуально, то таких хорд, которые мы можем провести через точку вне малого круга, и которые не будут пересекать этот малый круг будет континуально много. С другой стороны, если точка лежит внутри малого круга, то там вообще не важно, какую хорду мы через нее проведем - любая хорда будет больше длины стороны реугольника, а значит таких хорд тоже континуально много. Получается, что если убрать условие, что проводить можно хорду только так, что точка - это ее середина, то отношение площадей малого и большого круга нас уже не интересует. Так как мы начинаем сравнивать уже просто два континуума (за пределами малого круга и внутри него). А учитывая, что это одна и та же мощность двух множеств точек (и хорд), то с этой точки зрения абсолютно не важно будет ли точка внутри малого круга или за его пределами - и там и там таких точек континуум (и более того, для любой одной такой точки можно построить количество хорд тоже континуум). Т.е. мы просто сравниваем два континуума, два равномощных множества. Логически это означает, что вероятность 1/2 (что длиннее может быть, что короче). Ну а то, что она может быть 1/3, тут я предлагаю похожий способ как в видео. Представьте, что вы поставили одну точку хорды на окружности, это произошло случайно естественно, с равномерным распределением (т.е. наша точка может быть в любой точке окружности). Чтобы провести хорду нужно поставить вторую другую точку (также случайно), и тут возможны следующие варианты относительно первой - если она будет на дуге лежать так, что будет ближе, чем треть окружности (в любом из направлений), то хорда будет меньше длины стороны треугольника (три стороны треугольника как раз и смотрят на эти дуги, которые составляют треть окружности). Так как таких направлений два, то мы можем говорить о двух таких дугах и, соответственно о двух третях окружности. Соответственно, чтобы вторая точка относительно первой была расположена так, чтобы хора была длинной, ей необходимо преодолеть расстояние в 2/3 от длины окружности (либо 1/3 по часовой, либо 1/3 против часовой). А значит у второй такой точки есть только 1/3 длины окружности, т.о. и вероятность для второй точки будет 1/3. У первой точки хорды, кстати, вероятности вообще нет (ну или она нулевая, или, еще точнее, нам не принципиально где точка будет поставлена), главное это вероятность нахождения второй точки хорды на окружности относительно первой. Вот и думайте, какая вероятность тут уместнее - геометрическая по двум точкам и равная 1/3. Или вот такая логическо-множественная, немного мудреная, и равная 1/2.

Эту задачу можно свести к вопросу о количестве чисел расположенных на 2 любых интервалах, т.к. мы можем построить бесконечное количество хорд больших "а" и бесконечное количество хорд меньших "а"...здесь вообще не важно какие интервалы будут взяты, количество чисел которые можно распределить на обоих интервалах не будет отличаться, т.к. нет ограничений, другими словами распределение чисел будет 50/50. Поэтому правильный ответ 1/2.

Любое условие определяет неравномерность распределения точек, через которые проходит хорда. Если окружность выпрямить на отрезок прямой в гильбертовом двумерном пространстве, и принят концы хорды равномерно распределенными, то расстояние между точками, большее корень из трёх на отрезке два пи единичной окружности равно корень из трёх разделить на два пи умножить на три так как считаем концы не на одном отрезке но и на соседних равно корень из трёх делить на пи это при равномерном распределении концов хорд по окружности

Задача сформулирована точно! Что значит случайная хорда - отрезок, соединяющий две случайно выбранные точки на окружности, и не более!!! На мой взгляд, вероятность случайно выбрать хорду длиннее заданного значения равна вероятности выбора точки на окружности, удаленной от случайно выбранной другой точки на окружности на заданное расстояние, которая из первого равна 1/3...

На примере окружности с радиусом r. Множество всех хорд окружности можно представить как pi*r^2. Можество всех хорд, находящихся в сегменте, образованном стороной треугольника = (pi*r^2)/3 - (КОРЕНЬ(3)*r^2)/4. Таких сегмента - три, значит можество всех хорд, находящихся в сегментах, образованных сторонами треугольника = pi*r^2 - r^2*3*КОРЕНЬ(3)/4. Исходя из этих рассуждений, вероятность составит 1-3*КОРЕНЬ(3)/(4*pi) или примерно 0,586. Теоретически, вероятность будет именно такой, если выборку строить абсолютно случайным (!) образом, не основываясь ни на какой методике. Абсолютно случайно - это строить хорды между случайно выбранными точками без использования конкретной методики. Интересно посмотреть на результаты моделирования. Ведь если в примере с подбрасыванием монеты тоже применять некую методику (подбрасывания), вероятность тоже может быть вовсе не 1/2. Где я неправ?

Моё решение такое. Поскольку длина хорды от угла не зависит, решение можно рассматривать для хорд в одной плоскости. Заполняем половину круга хордами в одной плоскости (для примера в горизонтальной снизу до середины круга) с равномерным шагом, стремящимся к 0. Для другой половины круга условия те же, поэтому рассматриваем только одну половину. Теперь подставляем рисунок из видео.. Все хорды, лежащие ниже основания треугольника будут меньше, а хорды от основания треугольника, до центра круга больше. Соответственно правильный ответ - 1/2

Так вот, я подумал что этот вопрос нужно решить так: 1) Для начала, забудем о точках. Точки тут не нужны вообще. Их нет в условии и не надо их придумывать. 2) Треугольник тоже не нужно чертить. Его же просто для описания длины и углов ввели. 3) Предположим окружность с радиусом 1 и площадью Пи соответственно. 4) Далее следует определиться с единой поляризацией как с подмножеством. Например горизонтальной. Остальные подмножества это просто её подобия. 5) Рассмотрим равномерное покрытие площади поляризованными по единому вектору прямыми. 6) Выделим верхний и нижний сегменты от углов 2Пи/3 как те в корторых хорда короче стороны. 7) Если радиус равен 1, то высота одного сегмента равна 1/2. 8) Учитвая что поляризация это просто подмножество, то соотношение 1/2 сохраняется при всём множестве. С вероятностью всё нормально. Это с людьми что то не так. Все остальные способы это просто бред, так как невозможно установить равномерное по площади распределение при условии вращения или исключения нелинейных площадей до проведения расчета как такового.

Отлично, очень интересно, спасибо!

Это подписка с первого ролика! Давно хотел найти на ютубе подобный канал.

Я к такому же выводу пришёл. Надо изначально признать или договориться, что правильнее будет, когда при большой выборке случайных хорд, круг по его площади будет равномерно заштрихован (плотность штриховки одинакова). В таком случае подходит больше всего 3 вариант с вероятностью 1/2. Т.к. только в этом случае штриховка будет равномерной по всей площади круга (хорды перпендикулярно радиусу и равномерно случайным образом распределены между собой по этому же радиусу - плотность штриховки одинакова по всему полукругу). В 1 варианте при большой выборке плотность штриховки будет увеличиваться от центра к периферии, т.к. при равномерном распределении точек на окружности, кол-во хорд будет гуще там, где их длина становится меньше, т.е. ближе к периферии, вот и вероятность уже меньше для больших хорд и получается 1/3. Во втором варианте, когда выбирается случайно точка на всей площади круга и через нее проводится хорда, плотность штриховки от хорд в центре будет ещё меньше, чем при 1 варианте , т.к. хорды проведенные вне круга вписанного в треугольник, попадают только на площадь вне этого круга, а хорды проведенные в этом круге попадают так же и на площадь вне этого круга. Поэтому это не равномерное распределение хорд по площади круга.

Что-то мне это напоминает, а именно условно сходящиеся ряды. Если для условно сходящихся рядов есть теорема Римана, то нет ли здесь такой же теоремы? Ну, например, что-то такое: Если в N+1 - мерном пространстве вычисляется распределение объектов по n-мерному критерию, то вероятность зависит от способа получения случайной выборки?

Я думаю ответ будет 1/2 Так как выбирая первую точку для хорды, нужно выбирать от центра окружности до бесконечности. 0+оо/2 = оо значит первая точка с вероятностью стремящемся к 100% находится в бесконечности. Значит, вторая точка хорды определяет конечную вероятность. То есть, если из первой точки, находящийся на бесконечности,(либо от края обозримой вселенной) прочертить множество прямых линий в сторону окружности, то они все окажутся параллельны друг к другу. Дальше из условия длина хорды √3 и радиус =1. Дальше рассчитаем соотношение сторон, выходит p=b/R Пифагор: b=√R^2-(√3/2)^2=0.5R p=0.5 Я думаю это правильный метод расчета вероятности.. Изменено 15.01.2024. Пишите Ваши мысли, по критикуйте...)

Интересная тема. Спасибо!

Правильный ответ: взять все хорды и из них посчитать те, что соответсвуют условию. Интегрально. Для начала сократим количество точек на окружности, например, до 8. Тогда, ответ будет 3/7, из 7ми возможных хорд - 3 длиннее. И так далее, для 16, 32, 999..99 хорд, ответ будет все более точным. Проверил, получилось 1/3. Затем проверил через случайные точки, программно, вышло так же. 166781/500000 0.333562

Задача изначально то как раз и сформулирована правильно ! Для начала всем придется согласится с тем, что круг вращается вокруг оси, кторая проходит через его центр (для стимуляции вашего воображения и как следствие визуализации) * В методе решения с 1/4 ошибка, так как это посчитано только для хорд у которых есть точка, что входит в множество точек вписанного круга и не учтены те хорды, что пройдут по касательной этого маленького круга, но все еще будут больше длины стороны треугольника, и те что пройдут параллельно такой касательной с шагом до момента когда поровняются с заданной длинной стороны треуг., в точке 1/2 радиуса, который проведен от центра круга через точку пересечения касательной на малом круге. * Метод расчета с ответом 1/3 также неверен для первоначальной задачи, так как он определяет лишь вероятность для фиксированного положения вписанного трехугольника, а множеста (ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ) , которые возникнут при его вращении вокруг оси центра большого круга, игнорируются. * Нарешти метод третий : 1/2 в данном случае не вероятность, а просто условно видимое разделение области анализирования по радиусу. Теперь внимательно, самое интересное: Ранее мы уже представили, что все это вращается, а теперь, пускай, 5:47 это видимый стоп кадр. Что мы здесь видим. Радиус в точке пересечения со стороной треугольника делит, условно, область внутри круга на ту, в которой как бы мы не провели хорду, она 100% выходит длиннее стороны ""а", и на ту область, в которой лишь ОДНО множество хорд, проведенных параллельно этой стороне треугольника ну и перепендик. радиусу, иссессина, которые будут уменьшаться в конечном итоге до размеров точки на длине большого круга, образуя условно сегмент круга. ОСТАЛЬНЫЕ ЛЮБЫЕ попытки провести хорды через току на радиусе будут давать множество хорд , БОЛЬШИХ длины ""а"", вплоть до диаметра большо круга и обратно. Тоесть нужно соотносить всю площадь круга и площадь того сектора, которій будет образовываться каждый раз, кода случайным образом проведенная хорда пройдет в той области радиуса, где перпендикулярная сторона треугольника при движении-приближении к линии большой окружности будет уменьшаться от "а" до 0. Отож малята : Считаем по формуле площадь сектора данного конкретно круга ( у нас же это выходит 1.227308) делим ее на площадь всего круга (большого) тоесть на пи (3.14, так как радиус у нас 1 , напоминаю) и полученое значение отнимаем от 1. Відповідь : 0.609... ~ 0.61 * Вероятность, в моем понимании, это не количественное значение, а пространственно наполнятельное что ли распределение того или другого, тех или иных шняжек, выреженное в конечном итоге в виде цифры, которые тоже нами же условно как бы приняты, тобта в итоге это все го лишь конкретно видимо-обозримо-хотьшотопощупательная форма визуал осознавания того пространства бога , в котором мы все едим, какаем, пукаем и т.д.

Все возможные хорды можно расположить паралельно друг другу, чтобы исключить повторы. Затем посмотреть на площадь которую заняли меньшие хорды, и на площадь которую заняли большие хорды. Соотношение этих площадей и будет верным ответом. Всё остальное это дополнительные условия, которых нет в задании.