Чистая математика без дополнительных построений решил через подобие треугольников. Валерий, спасибо. Чуть ностальгия не сожрала. Любимый школьный предмет

Идея красивая! Вместе с тем, здесь способ для умных (через подобия без всяких достроений) очень быстро позволяет найти сторону искомого квадрата устно. Если это олимпиадная задача, то, Валерий, Вам респект! Потому, что именно с Вами такие задачи мне перестали казаться сложными!

А-начало координат. К(3, 1).Уравнение прямой АК : 3у - х = 0. С(2, 2). Расстояние от точки до прямой : СН = (3*2-2)/sqrt(3^2+1^2)= 4/√10. Искомая площадь : (4/√10)^2 = 8/5. По той же схеме, если обозначить АD =а, DN =b, можно получить в ОБЩЕМ ВИДЕ : S = a^4/[(a + b)^2 + b^2] = 2^4/(3^2+1^2)=8/5 !

пусть Р-точка пересечения АК и СD. Тогда РD=2/3 СР= 4/3. Треугольник РСН подобен АКN. Обозначим СН=х , тогда РН=х/3. Применим теорему Пифагора к тр. РСН: 16/9=х^2+(х/3)^2 S=х^2=16/10=1,6

Довольно просто, решается в уме. Подобие треугольников и теорема Пифагора. Больше и знать ничего не нужно. Смотрим. Обозначим точку между М и Д как Р. Тогда треугольники АКN, РСН, МКР подобны и из их подобия легко находится ответ.

Обозначим O пересечение AK с CD. Треугольник AOD~COH по 2 углам. Из треугольника AKN AK= √10. Так как AOD в 2 раза больше KOM, то гипотенуза AO=2/3× √10, а гипотенуза CO=(1+1/3)=4/3. Из подобия треугольников, отношение к гипотенузы равно отношению катетов AO/CO=AD/CH. Подставив получим CH=2÷(2√10/3÷4/3)=4/√10, когда площадь S=16/10=1,6. Тот же Ответ. Спасибо за видео.

Из подобия АОД и СОН. Квадрат АО равен 40/9 квадра ОС 16/9. Площади АВСД и Желтого относятся также как квадраты АО и ОС, 4/х=40/16 от сюда х=1,6

классная задачка. понравилась. спасибо.

решал через подобие треугольников и знания, чему равен косинус угла, тангенс которого равен 1/3 (посчитал 🤣) много счету по пути, но главное, что ответ верный

Решил точно также. Когда вижу длину ролика 3-5 минут, то понимаю, что слишком легко будет) Когда ролик длится 12-15 минут, то понимаю, что слишком сложно будет((

если увидеть что диагональ делиться на три части и МД отрезает 1/3, и что сам МД тоже разделена как 1:2, то можно порешать без дополнительных построений. Ну если не нужно доказывать симметричные вещи

Еще один подход. Возможно он короче, а может и нет. L - точка пересечения AK и CD. Из подобия треугольников ALD и AKN находим, что LD = 2/3. Тогда CL = 2 - 2/3 = 4/3. Далее из подобия треугольников AKN и CLH получаем: CH/CL = AN/AK, откуда CH = (AN * CL) / AK = (3 * 4/3) / AK = 4/AK, так что площадь квадрата равна CH² = 16/AK². Осталось заметить, что из треугольника AKN следует АК² = 3²+1²=10, так что искомая площадь 16/10 или 1,6.

Соединим прав верхн роз угол с нижн лев и прав верх зеле Получится тре-к Со ст 2√2 √2 √10 Осталось найти высоту которая и будет стор желт S=√2*2√2/2=н*√10/2 н=4√10/10 Sж=1,6

Точку пересечения отрезков МД и АК обозначил буквой Т. Треугольники СНТ и МКТ подобны треугольнику АКN (так как треугольник АТД подобен треугольнику АКN, то и треугольники СНТ и МКТ подобны АКN). Коэффициент соотношения катетов во всех этих подобных треугольниках 3:1, поэтому в треугольнике МКТ МК:МТ=1:3, а так как СМ=КМ=1, то СТ=СМ+МТ=1+1/3. Если СН примем за Х, то НТ будет Х/3 так как соотношение СН:НТ=1:3 исходя из их подобия. По теореме Пифагора СН*СН+НТ*НТ=СТ*СТ, отсюда Х^2+(Х/3)^2=(1+1/3)^2; Х^2+Х^2/9=(4/3)^2=16/9; 10Х^2=16; Х^2=1,6. А Х^2и есть площадь жёлтого треугольника.

Благодарю. Я через подобие решил.

Задачи на нахождение площади и решать нужно через площадь, а эту можно даже в уме без доказательства, что угол ACK прямой. Площадь S_ACK равна: S_ACD (половина квадрата со стороной 2, S=2) + S_CMK (половина квадрата со стороной 1, т.е. 1/2) + S_MDNK (квадрат со стороной 1) - S_ANK (треугольник со сторонами 3 и 1, т.е. S=3/2). Итого площадь треугольника ACK равна 2, с другой стороны половина основания на высоту, основание √10, высота является стороной искомого квадрата, равна 4/√10, площадь квадрата 16/10 или 1.6

Решал почти также, только использовал теорему косинусов, чтобы найти угол САК (26,5659). Тогда сторона жёлтого будет АС*Sin(САК)=1,26494854. Ну и площадь = 1,6.

Обозначим угол КАN как альфа, этот угол равен углу DCH. Тангенс альфа равен 1/3. Из подрбия APD ( P - пересечение CD и АК) получаем, что PD=2/3 и СР=5/3. Находим сторону желтого как СР, умноженное на косинус альфа. А плошадь равна СР^2

Ваше решение очень красивое

если обозн точку пересечения АК и CD тчк О, то ОD=2/3, а ОС=4/3... ну и сразу из подобия АОD и СОH косинус угла ОСН= 3/кореньиз10=СН/(4/3)... как-то так

Сам бы я не решил,но Ваши действия мне понятны.Спасибо.РS. Немного медленнее,если можно.Мне 55 и мозги не так быстро работают. Спасибо.

Есть и другие способы. Я попробовал такой: AK = sqrt(10) - это я определил, ему подобен треугольник в 2/3 от него размером в пределах розового квадрата, но не только он. Ещё нас интересует треугольник, подобный им обоим, чей катет CH, а гипотенуза вертикальная (не обозначена). Её длина 2-2/3 = 4/3. Как 4/3 относится к sqrt(10), так же и CH относится к AN, то есть к 3. То есть CH = 4/sqrt(10), ну а площадь квадрата со стороной CH вы уже определили. PS. Да, и всё это, к сожалению, исключая решение пропорции, я проделал в уме, ничего не записывая. Олимпиадная задача, называется... Но решать её было интересно, спасибо. А не довёл я решение до конца исключительно по причине хренового самочувствия, заболел...

Из подобия треугольников ACH и CKH сразу ответ: 4*2/5=1.6

Диагональ пересекает красно-зелеекю границу на 1/3 ниже зеленого угла. Дорисовав снзу еще один щеленый увмдим что лнвый нижний желтый угол на 2/5 правее и 1/3*3/5=1/5 ниже вернего левого зеленого. Дальше пифагорим 6/5^2+2/5^2=40/25=8/5

Решил задачу по условию и вопросу миниатюры через подобие пяти прямоугольных треугольников: Sж=16/10 - 1/15 = 23/15 т.е. S квадрата - S зелёного уголка = S пятиугольника! 1. Неужели я один ошибся из-за двусмысленной миниатюры? 2. А может это случайное усложнение стоит ввести в условие олимпиадной(!) (Лондон!) задачи?

Полезная задачка!

АСК прямоугольный , СК/АС=НК/НС=1/2, НК=х НС=2х , т. Пифагора х*х+2х*2х=5х*х=2 а площадь желтого =4х*х=4/5*2=1,6!

Через подобие проще решается

задача какая-то не олимпиадная. Сел и сосчитал.

Я нашёл неправильный способ